2026届高中数学二轮复习基础版 专题二　第3讲　数列求和(一) 练习（原卷版+答案版）

第3讲　数列求和(一) 1.(2024·全国甲卷，文T17)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知2Sn=3an+1-3. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{Sn}的前n项和. 解　(1)方法一　由2Sn=3an+1-3，可知2Sn+1=3an+2-3， 两式相减得2an+1=3an+2-3an+1， 即an+2=an+1. 由已知得2a1=2S1=3a2-3，且a2=a1，解得a1=1，故an=. 方法二　设a1=a，公比为q， 由条件得2a=2S1=3a2-3=3aq-3，2(a+aq)=2S2=3a3-3=3aq2-3， 两式相减得2aq=3aq(q-1)，显然aq≠0，故q=a=1，所以{an}的通项公式为an=. (2)由等比数列求和公式得 Sn==·- 则S1+S2+…+Sn =- =×- =·--. 2.(2022·新高考全国Ⅰ卷，T17)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1是公差为的等差数列. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：++…+<2. (1)解　方法一　因为a1=1，所以=1， 又是公差为的等差数列， 所以=1+(n-1)×=. 因为当n≥2时，an=Sn-Sn-1， 所以=(n≥2)， 所以=(n≥2)， 整理得=(n≥2)， 所以··…··=××…··=(n≥2)， 所以Sn=(n≥2)， 又S1=1也满足上式， 所以Sn=(n∈N*)， 则Sn-1=(n≥2)， 所以an=- =(n≥2)， 又a1=1也满足上式， 所以an=(n∈N*). 方法二　因为a1=1，所以=1， 又是公差为的等差数列， 所以=1+(n-1)×= 所以Sn=an. 因为当n≥2时， an=Sn-Sn-1=an-an-1， 所以an-1=an(n≥2)， 所以=(n≥2)， 所以··…··=×××…··=(n≥2)， 所以an=(n≥2)， 又a1=1也满足上式， 所以an=(n∈N*). (2)证明　因为an= 所以==2 所以++…+=2 =2<2. 命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，中高档题目都可考查，主要以解答题形式出现.分值约为8~17分. 考查方向：主要考查一是利用分组求和法求和，包括并项求和法求和，二是考查裂项相消法求和. 考点一　分组(并项)求和法 考向1　分组求和法 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，an-1+an+1=2an(n≥2，n∈N*)，且a1=1，S5=15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=求数列{bn}的前2n项和T2n. 解　(1)由an-1+an+1=2an(n≥2)， 得an+1-an=an-an-1(n≥2)， 所以数列{an}为等差数列， 所以S5=5×=5a3=15，解得a3=3. 所以公差d==1，所以an=n. (2)当n为奇数时，bn=an=n； 当n为偶数时，bn==2n-1， 所以T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n) =(1+3+…+2n-1)+(2+23+…+22n-1) =+ =n2+. 考向2　并项求和法 例2　已知公差不为零的等差数列{an}的首项为1，且a1，a2，a5是一个等比数列的前三项，记数列{an}的前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=(-1)nSn，求数列{bn}的前100项和T100. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，又a1=1，所以an=1+(n-1)d， 因为a1，a2，a5是一个等比数列的前三项， 所以a1a5=. 即1+4d=(1+d)2，又d≠0，所以d=2， 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1，n∈N*. (2)由(1)知Sn==n2， 因为bn=(-1)nSn=(-1)nn2， 所以T100=-12+22-32+42-…-992+1002 =++…+ =1+2+3+4+…+99+100 ==5 050. [规律方法]　(1)分组求和法常见题型 ①若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. ②若数列{cn}的通项公式为cn= 其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. (2)并项求和法常见题型 ①若数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n)，可采用并项求和法求数列{an}的前n项和. ②若数列{an}是周期数列或ak+(k∈N*)为等差或等比数列，可采用并项求和法求数列{an}的前n项和. 跟踪演练1　已知数列{an-1}为等比数列，且a1=2，a6=33. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=2+(-1)n·n，求数列{bn}的前2n项和S2n. 解　(1)因为数列{an-1}为等比数列，设其公比为q， 又a1-1=1，a6-1=32， 所以q5==32，所以q=2， 所以an-1=1·2n-1=2n-1， 所以数列{an}的通项公式为an= ... ...