2026届高中数学二轮复习基础版 专题二　第2讲　数列的递推关系 练习（原卷版+答案版）

第2讲　数列的递推关系 1.(2020·全国Ⅰ卷，文T16)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1，前16项和为540，则a1=　　　　　　. 2.(2017·全国Ⅲ卷，文T17)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和. 3.(2021·新高考全国Ⅰ卷，T17)已知数列{an}满足a1=1，an+1= (1)记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和. 命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，主要以解答题的形式出现，选择题、填空题也经常出现.分值约为5~13分. 考查方向：考查重点一是通过构造辅助数列求数列的通项、求和等，二是利用an与Sn的关系求数列的通项、求和等等. 考点一　构造辅助数列 1.形如an+1-an=f(n)的数列，利用累加法求an. 2.形如=f(n)的数列，利用累积法求an. 3.形如an+1=(p，q≠0)的数列，取倒数构造等差数列求通项. 4.若数列{an}满足an+1=pan+q(p≠0，1；q≠0)，构造an+1+λ=p(an+λ). 5.若数列{an}满足an+1=pan+f(n)(p≠0，1)，构造an+1+g(n+1)=p[an+g(n)]. 例1　(1)(多选)已知数列{an}，下列结论正确的是(　　) A.若a1=2，an+1=an+n+1，则a20=211 B.若a1=1，an+1=2an+3，则an=2n-1-3 C.若a1=1，an+1=则an= D.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2n (2)已知数列{an}满足an+1=2an-n+1，a1=3，则an=　　　　　. [易错提醒]　构造辅助数列求通项时，一定要注意n的范围，以及验证首项.特别是构造新数列时，当不包含首项时，更要验证首项是否满足，若首项不满足，则新数列不是从第一项开始的等差或等比数列. 跟踪演练1　(1)(2025·厦门模拟)已知数列{an}满足a1=1，2an+1=n(an-an+1)，则a100=　　　　. (2)(2025·盘锦模拟)已知数列{an}满足a1=an=an-1+则an=　　　　　　　. 考点二　利用an与Sn的关系 an与Sn的关系为an= 解题时，往往需要依据条件、所求，将an与Sn进行相互转化. 例2　(2025·济南模拟)记正项数列{an}的前n项和为Sn，已知an(2Sn-an)=2. (1)证明：{}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. [规律方法]　在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an.但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求出an(n≥2). 跟踪演练2　(1)(2025·北京模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=0，an+1+2Sn=n，则a5等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 (2)(2025·常德模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=a1+a2+…+an(n∈N*)，则(　　) A.a2=2 B.a4=8 C.S2=3 D.S5=16 专题突破练 [分值：70分] 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.已知数列{an}的首项a1=1，且an+1-an=n+1，则a40等于(　　) A.810 B.820 C.830 D.840 2.(2025·潍坊模拟)已知数列{an}满足an+1=若a1=1，则a5等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.在数列{an}中，若a1=2，an+1=2an+3·2n+1，则等于(　　) A.3n-1 B.2n-1 C.3n-2 D.2n-1 4.(2025·临沂模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+nan=1，当Sn>0.99时，n的最小值为(　　) A.49 B.50 C.99 D.100 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.(2025·南京模拟)已知数列{an}中，a3=an-an+1=-3anan+1，n∈N*，其前n项和为Sn，则(　　) A.a1= B.an= C.an≥a7 D.S10<0 6.(2025·贵阳模拟)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=2Sn+n-1，则下列结论正确的是(　　) A.数列{Sn+n}为等比数列 B.数列{an}的前n项和Sn=2n-n C.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1 D.数列{an+1}为等比数列 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.(2025·长沙模拟)在数列{an}中，a1=3，且an+1=则a2 025=　　　 ... ...