第3讲 随机变量及其分布 1.(多选)(2024·新课标Ⅰ卷，T9)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(s2)，则( )(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 答案 BC 解析 依题可知=2.1，s2=0.01， 所以Y~N(2.1，0.12)， 故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3，所以C正确，D错误； 因为X~N(1.8，0.12)， 所以P(X<1.8+0.1)≈0.841 3， 所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7， 而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)
1.8+0.1)≈0.158 7， 所以B正确，A错误. 2.(2025·全国Ⅰ卷，T14)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)= . 答案 解析 方法一 依题意，X的可能取值为1，2，3， 总的抽取方法数为53=125， 其中X=1表示3次抽取同一标号的球，选择球的标号有5种方式， 故P(X=1)==； X=2表示恰好两种不同标号的球被取出(即一球出现2次，另一球出现1次)， 选择出现2次的球有5种方式，选择出现1次的球有4种方式， 其中出现1次的球第几次被取出有3种可能，故事件X=2的可能情况有5×4×3=60(种)， 故P(X=2)==； X=3表示三种不同标号的球被取出， 可能情况有5×4×3=60(种)， 故P(X=3)== 所以E(X)=1×+2×+3×=. 方法二 依题意，假设随机变量Xi，其中i=1，2，3，4，5， 其中 Xi= 则X=Xi， 易知所有E(Xi)相等， 则E(X)=E(Xi)=E(Xi)=5E(Xi)， 由题意可知，i号球在单次抽取中未被取出的概率为 由于每次抽取相互独立，则3次均未取出i号球的概率为P(Xi=0)== 因此i号球至少被取出1次的概率为P(Xi=1)=1-= 故E(Xi)= 所以E(X)=5E(Xi)=5×=. 3.(2025·天津，T13)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E(X)= . 答案 0.6 3.2 解析 设小桐一周跑11圈为事件A，第一次跑5圈为事件B，第二次跑5圈为事件C， 则P(A)=P(B)P(|B)+P()P(C|)=0.5×0.6+0.5×0.6=0.6； 设运动量达标为事件D，则P(D)=P(A)+P()P(|)=0.6+0.5×0.4=0.8， 所以X~B(4，0.8)，E(X)=4×0.8=3.2. 命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，主要以解答题的形式进行考查，分值约为13~17分. 考查方向：一是求离散型随机变量的分布列及其均值与方差；二是分布列、均值与统计图表的综合应用；三是利用分布列、均值与方差进行决策或分析，此类试题的阅读量大，综合性较强. 考点一 分布列性质及应用 例1 (1)(2025·九江模拟)九江市教育局准备了9个相关问题(含问题A)到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等.记X表示抽到问题A的教师人数，则E(X)等于( ) A. B.4 C. D.2 答案 D 解析 ∵每名教师抽到问题A的概率为= 由题意可知X~B ∴E(X)=6×=2. (2)已知随机变量X的分布列如表所示，则D(X)等于( ) X a a+1 P x A.a2 B. C. D. 答案 C 解析 因为+x=1，所以x= 由题意得，E(X)=a+(a+1)=a+ 所以D(X)=+=. [规律方法] 分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质 ... ... 