第2讲 函数的图象与性质 1.(2024·全国甲卷，理T7)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]的图象大致为( ) 答案 B 解析 f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x) =-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)， 又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]， 故该函数为偶函数，可排除A，C， 又f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1->->0， 故可排除D. 2.(2023·北京，T4)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是( ) A.f(x)=-ln x B.f(x)= C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1| 答案 C 解析 对于A，因为y=ln x在(0，+∞)上单调递增，y=-x在(0，+∞)上单调递减， 所以f(x)=-ln x在(0，+∞)上单调递减，故A错误； 对于B，因为y=2x在(0，+∞)上单调递增，y=在(0，+∞)上单调递减， 所以f(x)=在(0，+∞)上单调递减，故B错误； 对于C，因为y=在(0，+∞)上单调递减，y=-x在(0，+∞)上单调递减， 所以f(x)=-在(0，+∞)上单调递增，故C正确； 对于D，因为f ===f=3|1-1|=30=1，f==3， 显然f=3|x-1|在上不单调，故D错误. 3.(2025·全国Ⅰ卷，T5)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f 等于( ) A.- B.- C. D. 答案 A 解析 由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立， 于是f =f=f =5-2×=-. 4.(2024·新课标Ⅰ卷，T6)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是( ) A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) 答案 B 解析 因为f(x)在R上单调递增， 且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增， 则需满足 解得-1≤a≤0， 即a的取值范围是[-1，0]. 5.(2023·全国甲卷，T13)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数，则a= . 答案 2 解析 ∵f(x)=(x-1)2+ax+sin =(x-1)2+ax+cos x=x2+(a-2)x+1+cos x， 且函数为偶函数，∴a-2=0，解得a=2. 经验证，当a=2时满足题意. 6.(2022·北京，T14)设函数f(x)=若f(x)存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 . 答案 0(答案不唯一) 1 解析 当a=0时， 函数f(x)=存在最小值0，所以a的一个取值可以为0； 当a<0时， 若x
2时， 若x