2026届高中数学二轮复习基础版 专题六　第5讲　函数的极值、最值 练习（原卷版+答案版）

第5讲　函数的极值、最值 1.(2022·全国乙卷，文11)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为(　　) A.- B.- C.-+2 D.-+2 答案　D 解析　f(x)=cos x+(x+1)sin x+1，x∈[0，2π]，则f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)·cos x=(x+1)cos x，x∈[0，2π]. 令f'(x)=0，解得x=-1(舍去)，x=或x=. 因为f =cos +sin +1 =2+ f =cos +sin +1=- 又f(0)=cos 0+(0+1)sin 0+1=2， f(2π)=cos 2π+(2π+1)sin 2π+1=2， 所以f(x)max=f =2+ f(x)min=f =-.故选D. 2.(多选)(2025·全国Ⅱ卷，T10)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2-3)ex+2，则(　　) A.f(0)=0 B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)e-x-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 答案　ABD 解析　对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，故A正确； 对于B，当x<0时，-x>0，则f(x)=-f(-x)=-{[(-x)2-3]e-x+2}=-(x2-3)e-x-2，故B正确； 对于C，f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2， 故C错误； 对于D，当x<0时，f(x)=(3-x2)e-x-2，则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x， 令f'(x)=0，解得x=-1或x=3(舍去)， 当x∈(-∞，-1)时，f'(x)>0，此时f(x)单调递增， 当x∈(-1，0)时，f'(x)<0，此时f(x)单调递减， 则x=-1是f(x)的极大值点，故D正确. 3.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷，T11)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 答案　BCD 解析　函数f(x)=aln x++的定义域为(0，+∞)， 则f'(x)=--= 因为函数f(x)既有极大值也有极小值， 则函数f'(x)在(0，+∞)上有两个变号零点，而a≠0， 因此方程ax2-bx-2c=0有两个不相等的正实数根x1，x2， 于是 即有b2+8ac>0，ab>0，ac<0， 显然a2bc<0，即bc<0，故A错误，B，C，D正确. 4.(2025·全国Ⅱ卷，T13)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)=　　　　　. 答案　-4 解析　由题意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)， 所以f'(x)=(x-2)(x-a)+(x-1)(x-a)+(x-1)(x-2)， 因为x=2是函数f(x)的极值点，所以f'(2)=2-a=0，得a=2. 当a=2时，f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4)，令f'(x)=0，得x=2或x= 当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 所以x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值点，符合题意，故a=2. 所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4. 5.(2024·新课标Ⅱ卷，T16)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 解　(1)当a=1时，则f(x)=ex-x-1， f'(x)=ex-1， 可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1， 即切点坐标为(1，e-2)， 切线斜率k=e-1， 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)， 即(e-1)x-y-1=0. (2)方法一　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增， 无极值，不符合题意； 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a， 令f'(x)<0，解得x0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 则g'(a)=2a+>0， 可知g(a)在(0，+∞)上单调递增， 且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). 方法二　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若f(x)有极小值， 则f'(x)=ex-a有零点， 令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a， 可知y=ex与y=a有交点，则a>0， 令f'(x)>0，解得x>ln a； 令f'(x)<0，解得x