2026届高中数学二轮复习基础版 专题五　第2讲　圆锥曲线的方程与性质 练习（原卷版+答案版）

第2讲　圆锥曲线的方程与性质 1.(2025·全国Ⅰ卷，T3)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D.2 2.(2025·全国Ⅱ卷，T6)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y=-2x+2，则|AF|等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 3.(2024·新课标Ⅱ卷，T5)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.+=1(y>0) B.+=1(y>0) C.+=1(y>0) D.+=1(y>0) 4.(2024·新课标Ⅰ卷，T12)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为　　　　. 5.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，T10)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作☉A：x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点.过P作l的垂线，垂足为B.则(　　) A.l与☉A相切 B.当P，A，B三点共线时，|PQ|= C.当|PB|=2时，PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为10~12分. 考查方向：一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；二是椭圆、双曲线的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解；三是抛物线的几何性质，主要考查与焦点弦相关的知识. 考点一　圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线：||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|). (3)抛物线：|PF|=|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” “定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置； “计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值. 例1　(1)抛物线y=mx2(m<0)上一点A(x0，-4)到其焦点的距离为6，则m的值为(　　) A.- B.- C.-8 D.-4 (2)(2025·永州模拟)已知椭圆E：+=1，点F(-1，0)，若直线x+λy-1=0(λ∈R)与椭圆E交于A，B两点，则△ABF的周长为(　　) A.2 B.4 C.4 D.8 [易错提醒]　求圆锥曲线的标准方程时的常见错误 (1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错； (2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2=b2+c2，双曲线中的关系式为c2=a2+b2； (3)确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置. 跟踪演练1　(1)抛物线y2=4x的焦点为F，点P是抛物线上任意一点，则|PF|的最小值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)设P是双曲线C：-y2=1右支上一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段PF1的中点，若|OQ|=1，则|PF1|的值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 考点二　椭圆、双曲线的几何性质 1.求离心率通常有两种方法 (1)求出a，c，代入公式e=. (2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. 2.与双曲线-=1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay=0的双曲线方程为-=λ(λ≠0). 例2　(1)(多选)已知双曲线Γ：- =1，则下列说法正确的是(　　) A.Γ的虚轴长为6 B.Γ的离心率为 C.Γ的渐近线方程为y=±x D.Γ的焦点坐标为(±5，0) (2)(多选)(2025·常州模拟)P在椭圆C上，C的左、右焦点F1，F2在x轴上，PF1和PF2分别交C于点A，B，△PAF2的周长为20，C的左顶点和上顶点的距离为设离心率为e，则(　　) A.椭圆的焦距为3 B.e= C.△PF1F2面积的最大值为12 D.PF1和PF2斜率的乘积为定值 [规律方法]　(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系. (2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到. 跟踪演练2　(1)(多选) ... ...