2026届高中数学二轮复习基础版 专题五　第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系 练习（原卷版+答案版）

第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2025·全国Ⅱ卷，T16)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4. (1)求C的方程； (2)过点(0，-2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为，求|AB|. 解　(1)因为长轴长为4，则2a=4，a=2，又离心率为则c= 故b==故椭圆C的方程为+=1. (2)方法一　由题设可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：x=t(y+2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 消去x可得(t2+2)y2+4t2y+4t2-4=0， 故Δ=16t4-4(t2+2)(4t2-4)=16(2-t2)>0， 即-0，可得k>或k<- x1+x2=x1x2=>0，所以x1，x2同号， S△OAB=S△OPB-S△OPA=×2|x2|-×2|x1|=|x2-x1|=== 解得k2=所以|AB|=|x2-x1|=×=. 2.(2022·新高考全国Ⅰ卷，T21)已知点A(2，1)在双曲线C：-=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率； (2)若tan∠PAQ=2，求△PAQ的面积. 解　(1)将点A的坐标代入双曲线方程得-=1， 化简得a4-4a2+4=0，得a2=2， 故双曲线C的方程为-y2=1. 由题易知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y=kx+m， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立直线l与双曲线C的方程，消y整理得 (2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0， 故x1+x2=-x1x2=. kAP+kAQ=+ =+=0， 化简得2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0， 故+(m-1-2k)-4(m-1)=0， 整理得(k+1)(m+2k-1)=0， 又直线l不过点A，即m+2k-1≠0， 故k=-1. (2)不妨设直线PA的倾斜角为θ 由题意知∠PAQ=π-2θ， 所以tan∠PAQ=-tan 2θ= =2 解得tan θ=或tan θ=-(舍去). 由得x1= 所以|AP|=|x1-2|= 同理得x2= 所以|AQ|=|x2-2|=. 因为tan∠PAQ=2 所以sin∠PAQ= 故S△PAQ=|AP||AQ|sin∠PAQ =×××=. 命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~13分. 考查方向：一是直线与圆锥曲线的位置关系，主要考查位置关系的判断及由位置关系求参数的范围；二是弦长公式，主要考查联立后公式的运用，通常以弦长或面积为主要考查方向；三是中点弦问题，主要考查点差法及与垂径定理相关的知识和方法. 考点一　弦长问题 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|==|x1-x2|= 或|AB|=|y1-y2|=. 例1　已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)的离心率为且过点. (1)求E的方程； (2)直线l过点(0)且交E于A，B两点，若弦AB的长度为E的实轴长的两倍，求l的方程. 解　(1)因为双曲线E过点离心率为 所以 解得所以双曲线E的方程为x2-=1. (2)由(1)知双曲线的实轴长为2，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-)， 联立 得(2-k2)x2+2k2x-3k2-2=0，Δ=16(k2+1)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=x1x2= 所以|AB|===4，解得k=±y=±(x-)； 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=此时|AB|=4，符合题意. 综上所述，直线l的方程为y=x-或y=-x+或x=. [易错提醒]　(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等. (2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉. (3)|AB|=x1+x2+p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立. 跟踪演练1　(2025·广安模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)上任意一点P到C的两个焦点F1(-20)，F2(20)的距离之和为4. (1)求C的方程； (2)已知直线l：y=x+m与C相交于A，B两点，若=5，求m的值. 解　(1)由题意可得解得 故C的方程为+=1. (2)联立 得x2+2mx+3m2-12=0， Δ=4m2-4×>0，解得m2<. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 |AB|=× =× =×=5， 解得m=±即m的值为±. 考点二　面积问题 例2　(2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：+ ... ...