微专题18 随机变量及其分布 高考定位 离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查,重点考查超几何分布、二项分布及正态分布,选择题、填空题、解答题都有出现,中等难度. 【真题体验】 1.(2025·天津卷)小桐操场跑圈,一周2次,一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5,若第一次跑5圈,则第二次跑5圈的概率为0.4,跑6圈的概率为0.6.若第一次跑6圈,则第二次跑5圈的概率为0.6,跑6圈的概率为0.4,小桐一周跑11圈的概率为 ;若一周至少跑11圈为运动量达标,则连续跑4周,记达标周数为X,则期望E(X)= . 答案 0.6 3.2 解析 小桐一周跑11圈的概率p=0.5×0.6+0.5×0.6=0.6. 小桐一周运动量达标的概率p=1-0.5×0.4=0.8,显然X服从二项分布B(4,0.8), 故E(X)=4×0.8=3.2. 2.(2025·新高考Ⅰ卷)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)= . 答案 解析 X的所有可能取值为1,2,3, 则P(X=1)===, P(X=2)=×6==, P(X=3)=××6==, 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)=1×+2×+3×=. 3.(2025·北京卷)某次考试中,只有一道单项选择题考查了某个知识点,甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试,为了解学生对该知识点的掌握情况,随机抽查甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据,其中甲校学生选择正确的人数为80,乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立.用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p; (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名,设X为这2名学生中该题选择正确的人数,估计X=1的概率及X的数学期望; (3)假设:如果没有掌握该知识点,学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案;如果掌握该知识,甲校学生选择正确的概率为100%,乙校学生选择正确的概率为85%,设甲、乙两校的高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1,p2,判断p1与p2的大小(结论不要求证明). 解 (1)用频率估计概率,从甲校随机抽取1人,做对题目的概率为=. (2)设A为“从甲校抽取1人选择正确”,B为“从乙校抽取1人选择正确”,C为“恰有1人选择正确”, 则P(A)=0.8,P()=0.2,P(B)=0.75,P()=0.25, 故P(C)=P(A)+P(B) =P(A)P()+P()P(B)=0.35, 而X可取0,1,2, P(X=0)=P()=0.05, P(X=1)=0.35, P(X=2)=0.8×0.75=0.6, 故X的分布列如下表: X 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55. (3)设D为“甲校掌握该知识的学生”, 因为甲校学生掌握这个知识点并选择正确的概率为100%, 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个, 故P(D)+(1-P(D))=0.8, 即p1+×(1-p1)=0.8,故p1=, 同理有0.85p2+×(1-p2)=0.75,故p2=, 故p1
