微专题19 统计与成对数据的统计分析 高考定位 高考对本专题内容的考查往往以实际问题为背景,考查随机抽样与用样本估计总体、经验回归方程的求解与运用、独立性检验问题,常与概率综合考查,中等难度. 【真题体验】 1.(2025·新高考Ⅱ卷)样本数据2,8,14,16,20的平均数为( ) A.8 B.9 C.12 D.18 答案 C 解析 由题意(2+8+14+16+20)=12. 2.(2025·新高考Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人,得到如下列联表: 组别 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者中患有该疾病的概率为p,求p的估计值; (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附:χ2=, α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解 (1)由题表可知,检查结果不正常者有200人,检查结果不正常者中患有该疾病的有180人, 所以由样本估计总体得p==0.9. (2)零假设H0:超声波检查结果与是否患该疾病无关. χ2==765.625>10.828, 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立, 即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关. 3.(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据: 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得=0.038, =1.615 8,xiyi=0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量; (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01); (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附:相关系数r=,≈1.377. 解 (1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值==0.06(m2), 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 ==0.39(m3), 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2,平均一棵的材积量为0.39 m3. (2)样本的相关系数 r= = = =≈≈0.97. (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,可得=,解得Y=1 209(m3). 则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3. 【热点突破】 热点一 用样本估计总体 1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距,纵坐标表示,频率=组距×. 2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数. (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 考向1 统计图表与数字特征的应用 例1 (1)(多选)某市2020年到2025年常住人口变化图如图所示,则( ) A.该市2020年到2025年这6年的常住人口的极差约为38万 B.该市2020年到2025年这6年的常住人口呈递增趋势 C.该市2020年到2025年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万 D.该市2020年到2025年这6年的常住人口的中位数为717.02万 (2)(2025·潍坊模拟)若一组样本数据x1,x2,x3,x4的平均数为2,方差为4,则数据x1,x2,x3,x4,2x1+2,2x2+2,2x3+2,2x4+2的平均数和方差分别为( ) A.4,14 B.4,6 C.3,14 D.3,6 答案 (1)ACD (2)A 解析 (1)由图可知,该市2020年到2025年这6年的 ... ...
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