微专题13 空间中的平行与垂直关系(几何法、向量法) 高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理,对命题的真假进行判断,属基础题; 2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容,多出现在立体几何解答题中的第(1)问. 【真题体验】 1.(2025·天津卷)已知m,n为两条直线,α,β为两个平面,则下列结论中正确的是( ) A.若m∥α,n α,则m∥n B.若m⊥α,m⊥β,则α⊥β C.若m∥α,m⊥β,则α⊥β D.若m α,α⊥β,则m⊥β 2.(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,则( ) A.AD⊥A1C B.BC⊥平面AA1D C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D 3.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则( ) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D 4.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点,则满足MN⊥OP的是( ) 5.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足=λ+μ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( ) A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值 B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值 C.当λ=时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP D.当μ=时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P 【热点突破】 热点一 空间线、面位置关系的判定 判断空间线、面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理进行判断; (2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断; (3)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系,并结合有关定理进行判断. 例1 (1)(多选)(2025·深圳二模)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列四个命题是真命题的是( ) A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β B.若m⊥α,n∥α,则m⊥n C.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n D.若m∥α,m∥β,α∩β=n,则m∥n (2)(多选)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F,G分别为棱BC,CC1,CD的中点,则下列结论正确的有( ) A.AE与D1F共面 B.平面AB1D1∥平面GFE C.AE⊥EF D.BF∥平面AB1D1 易错提醒 1.易遗漏定理中的条件. 2.易直接将平面几何中的结论应用到立体几何中. 训练1 (1)(2025·厦门模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,α∩β=n,则下列说法正确的是( ) A.若m∥α,则m∥n B.若m∥n,则m∥α C.若m⊥n,则m⊥β D.若m⊥β,则m丄n (2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P,Q,M,N,T分别为所在棱的中点,则( ) A.QN⊥BB1 B.QN∥平面BCC1B1 C.直线QN与PT为异面直线 D.B1D⊥平面PMT 热点二 几何法证明平行、垂直 1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a α,b α,a∥b a∥α. (2)线面平行的性质定理:a∥α,a β,α∩β=b a∥b. (3)面面平行的判定定理:a β,b β,a∩b=P,a∥α,b∥α α∥β. (4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b a∥b. 2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:m α,n α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n l⊥α. (2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α a∥b. (3)面面垂直的判定定理:a β,a⊥α α⊥β. (4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a α,a⊥l a⊥β. 例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证: (1)PE⊥BC; (2)平面PAB⊥平面PCD; (3)EF∥平面PCD. 规律方法 平行关系及垂直关系的转化 训练2 如图所示,平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面,点C为底面圆周上异于A,B的任意一点. (1)求证:BC⊥平面A1AC; (2)若D为AC的中点,求证:A1D∥平面O1BC. 热点三 向量法证明平行、垂直 1.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分 ... ...
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