6．1　第4课时　解三角形应用举例（教师版）

第4课时　解三角形应用举例 1.通过教材实例掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用．　2.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题． INCLUDEPICTURE"新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE"新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量． 思考　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？ 提示：问题转化为求不可到达的两点A，B之间的距离(如图)，可选定可到达位置CD，用米尺测量CD＝m，用测量角度的工具测得∠ACB＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ACD＝θ，∠ADC＝φ，先在△BCD中求出BC，再在△ACD中求出AC，最后在△ABC中求AB即可． 1．基线 (1)在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫作基线． (2)在测量过程中，为使测量工具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度，一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．测量距离问题的基本类型及求解方法 类型 图形 方法 A，B两点间不可到达的距离 余弦定理 A，B两点间可视有一点不可到达的距离 正弦定理 续　表 类型 图形 方法 A，B两个均不可到达的点之间的距离 先用正弦定理，再用余弦定理 INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)海面上有相距10 n mile的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为(　　) A．10 n mile B．10 n mile C．5 n mile D．5 n mile (2)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为_____ km. 【解析】　(1)如图，由题意得A＝60°，B＝75°，AB＝10，则C＝45°， 所以＝，所以BC＝＝5， 即B，C间的距离为5 n mile.故选D. (2)因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以B＋D＝π，所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD· CDcos D＝52＋32－2×5×3cos D＝34－30cos D，① AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝52＋82－2×5×8cos B＝89－80cos B＝89＋80cos D，② 联立①②，解得AC＝7. 【答案】　(1)D　(2)7 eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ) 测量距离问题的解题思路 测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构建数学模型时，要尽量把已知元素放在同一个三角形中． [跟踪训练1] 如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为_____km. 解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝＝(km)． 答案： 实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) 方位角 从正北的方向线按顺时针方向到目标方向线所转过的水平角 INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　某货船在一海域航行中遭遇突发情况，发出求救 ... ...