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课件网) 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课标定位 素养阐释 1.知道圆柱、圆锥、圆台表面与展开图的关系及表面积的计算方法. 2.能识记圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式,并能用这些公式计算一些简单几何体的表面积和体积. 3.能用柱、锥、台、球的表面积和体积公式解决简单的实际问题. 4.用运动变化的观点观察柱、锥、台,体会它们的相互转化,发展直观想象和数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、圆柱、圆锥、圆台的表面积 1.如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积 提示:圆柱的侧面展开图是矩形,一边长是圆柱底面圆周长,另一边长是圆柱的高(母线).设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则S圆柱侧=2πrl,S圆柱表=2πr(r+l). 2.如何根据圆锥的展开图,求圆锥的表面积 提示:圆锥的侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线长,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形面积为 即S圆锥侧=πrl,S圆锥表=πr(r+l),其中r为圆锥底面半径,l为母线长. 3.如何根据圆台的展开图,求圆台的表面积 4.圆柱、圆锥、圆台的表面积 5.(1)如图,圆锥的底面半径为1,高为 ,则圆锥的表面积为 . (2)若圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于 . 故圆锥的表面积S圆锥=π×1×(1+2)=3π. (2)S圆台=π(32+42+3×6+4×6)=67π. 答案:(1)3π (2)67π 二、圆柱、圆锥、圆台的体积 1.试回想圆柱和圆锥的体积公式. 2.根据上一节棱台的体积公式,试推导圆台的体积公式. 4.(1)已知圆柱的高为2,若它的轴截面为正方形,则该圆柱的体积为( ) (2)若圆锥的底面圆半径为1,母线长为2,则该圆锥的体积为 . 解析:(1)设圆柱的底面半径为r,高为h. 由题意知2r=2,得r=1. 故V圆柱=πr2h=π×12×2=2π. 三、球的表面积与体积 1.古人在计算圆周率时,一般是用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形的周长来逼近圆的周长.理论上,只要取得圆内接正多边形的边数越多,圆周率就越精确,直到无穷.这种思想就是朴素的极限思想.运用上述思想能否计算球的表面积与体积 提示:可以,运用分割、求近似值、再由近似值转化的数学思想方法. 2.(1)设球的半径为R,则球的表面积S= 4πR2 . (2)设球的半径为R,则球的体积V=_____ . 3.(1)如果两个球的半径之比为1∶3,那么两个球的表面积之比为( ) A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1 (2)已知球的体积为 ,则它的表面积为 . ∴r3=27,r=3, ∴S球=4π×32=36π. 答案:(1)A (2)36π 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)锥体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高).( × ) (2)圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台,圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台.( √ ) (3)把球的表面积扩大为原来的2倍,则它的体积扩大为原来的8倍.( × ) 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 【例1】 已知△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积. 解:如图,在△ABC中,过点C作CD⊥AB,垂足为点D. 由AC=3,BC=4,AB=5,知AC2+BC2=AB2,则AC⊥BC. 由BC·AC=AB·CD, 对于与旋转体有关的组合体问题,要根据条件分清各个简单几何体的底面半径、母线长及高,再分别代入表面积或体积公式求解. 【变式训练1】 已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积. 解:如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r,R,l,高为h. 作A1D⊥AB于点D, 则A1D= ... ...
