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课件网) 第1课时 计数原理 复习课 2026 内容索引 01 02 知识梳理 构建体系 专题归纳 核心突破 知识梳理 构建体系 【知识网络】 【要点梳理】 1.分类加法计数原理 完成一件事情有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事共有N= m1+m2+…+mn 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事共有 N=m1·m2·…·mn 种不同的方法. 3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系 内容 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 关键词 分类 分步 本质 每类方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次性的,且每次得到的是最后结果,用其中任何一种方法都可以做完这件事 每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,各个步骤中的方法互相依存,缺少任何一步也不能完成这件事,只有每一个步骤都完成才算做完这件事 各类(步) 的关系 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的,即“分类互斥” 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保连续性,“独立”确保不重复,即“分步互依” 4.排列数与组合数公式及性质 注意:(1)正确区分是组合问题还是排列问题,要把排列中的“定序”和“有序”区分开来. (2)正确区分分堆问题和分配问题. 5.二项式定理 (1)对于任意正整数n, (2)二项式系数的性质 ①对称性 (2)求二项式展开式中的特殊项(如:系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项…)时,要注意n与k的取值 范围. (3)区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”,展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”,“奇(偶)数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)在分步乘法计数原理中,任何一个单独的步骤都能完成这件事.( × ) 专题归纳 核心突破 专题整合 专题一 计数原理的应用 【例1】 (1)某班有9名运动员,其中5人会打篮球,6人会踢足球,现从中选出2人分别参加学校篮球队和足球队,则不同的选派方案有( ) A.28种 B.30种 C.27种 D.29种 (2)一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示,现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色,规定每个区域只涂一个颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方法有 种. 解析:(1)有9名运动员,其中5人会打篮球,6人会踢足球,则有5+6-9=2人既会踢足球又会打篮球,有3人只会打篮球,有4人只会踢足球,所以选派的方案有四类:①选派两种球都会的运动员有2种方案;②选派两种球都会的运动员中一名踢足球,只会打篮球的运动员打篮球,有2×3=6种方案;③选派两种球都会的运动员中一名打篮球,只会踢足球的运动员踢足球,有2×4=8种方案;④选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球,有3×4=12种方案.综上可知,共有2+6+8+12=28种方案,故选A. (2)如图,设四个直角三角形顺次为A,B,C,D,按A,B,C,D顺序涂色,下面分两种情况: ①A,C不同色:A有4种,B有3种,C有2种,D有2种,有4×3×2×2=48种不同的涂法;②A,C同色:A有4种,B有3种,C有1种,D有3种,有4×3×1×3=36种不同的涂法,故共有48+36=84种不同的涂色方法. 答案:(1)A (2)84 1.使用两个计数原理解决问题的思路 (1)选择使用两个计数原理解决问题时,要根据我们完成某件事情采取的方式而定,确定是分类还是分步,要抓住两个原理的本质. (2)分类加法计数原理的关键是“类”,分类时,首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准,然后 在这个标准下进行分类;其次分类时要注意,完 ... ...
