《学霸笔记 同步精讲》复习课 第3课时 立体几何初步 练习（教师版）数学人教A版必修二

第3课时　立体几何初步 课后训练巩固提升 1.已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到的直观图如图所示,其中B'O'=C'O'=1, A'O'=,那么△ABC是一个(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形 解析:在△ABC中,OA⊥BC,OA=,OB=OC=1,所以AB=AC=2,又BC=2,所以△ABC是一个等边三角形. 答案:A 2.已知l,m,n为两两垂直的三条异面直线,过l作平面α与直线m垂直,则直线n与平面α的关系是(　　) A.n∥α B.n∥α或n α C.n α或n与α不平行 D.n α 解析:∵l α,且l与n异面,∴n α. 又m⊥α,n⊥m,∴n∥α. 答案:A 3.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6,侧棱长为2,则上、下底面间的距离为(　　) A. B.1 C. D. 解析:如图,正三棱台ABC-A1B1C1,设点A1在下底面的射影为E,连接AE,A1E,则AE=. 在Rt△A1EA中,A1E==1,所以点A1到底面ABC的距离为1. 因为棱台上、下底面平行,所以上、下底面间的距离等于点A1到底面ABC的距离,即距离为1. 答案:B 4.在正三棱锥S-ABC中,M,N分别是SC,BC的中点,且MN⊥AM,若侧棱SA=2,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是(　　) A.12π B.32π C.36π D.48π 解析:由MN⊥AM,且MN是△BSC的中位线,得BS⊥AM,又由正三棱锥的性质,得BS⊥AC,因为AM∩AC=A,所以BS⊥平面ASC. 即正三棱锥S-ABC的三侧棱SA,SB,SC两两垂直,可以把三棱锥看作以S为一顶点,以AS为边长的正方体的一部分,则三棱锥外接球的直径为正方体体对角线,则直径为SA=6. 故球的表面积S=4πR2=4π×32=36π.选C. 答案:C 5.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是(　　) A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMB B.异面直线AD与PB所成的角为90° C.二面角P-BC-A的大小为45° D.BD⊥平面PAC 解析:如图,对于A,取AD的中点M,连接PM,BM, ∵侧面PAD为正三角形, ∴PM⊥AD. ∵底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AD⊥BM. 又PM∩BM=M,PM,BM 平面PMB, ∴AD⊥平面PBM,故A正确. 对于B,∵AD⊥平面PBM,∴AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故B正确. 对于C,∵BC∥AD,∴BC⊥平面PBM, ∴BC⊥PB,又BC⊥BM, ∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角. 设AB=1,则BM=,PM=, ∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PM 平面PAD,PM⊥AD, ∴PM⊥平面ABCD,在Rt△PBM中,tan∠PBM==1,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C正确. 对于D,因为BD与PA不垂直,所以BD与平面PAC不垂直,故D错误. 故选ABC. 答案:ABC 6.已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么点P到平面ABC的距离为　　　　　. 解析:如图,过点P作PO⊥平面ABC,垂足为点O,PD⊥AC于点D,PE⊥BC于点E,连接OC,OD,OE, 则PD=PE=. 由PO⊥平面ABC,知PO⊥AC. 又因为AC⊥PD,PO∩PD=P, 所以AC⊥平面POD,所以AC⊥OD,同理可得BC⊥OE. 又因为∠ACB=90°,所以四边形CDOE为矩形. 又因为PO=PO,PD=PE,所以Rt△POD≌Rt△POE,所以OD=OE,所以矩形CDOE为正方形. 在Rt△PCD中,CD==1,则OC=CD=,所以在Rt△PCO中,PO=. 即点P到平面ABC的距离为. 答案: 7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点. (1)求证:BD⊥平面PAC; (2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE; (3)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE 说明理由. (1)证明:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD. 又因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC. 因为PA∩AC=A,且PA,AC 平面PAC,所以BD⊥平面PAC. (2)证明:因为PA⊥平面ABCD,AE 平面ABCD,所以PA⊥AE. 因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,且E为CD的中点,所以AE⊥CD.所以AB⊥AE. 因为PA∩AB=A,且PA,AB 平面PAB, 所以AE⊥平面PAB. 因为AE 平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE. (3)解:棱PB上存在点F,使得CF∥平 ... ...