绝密★启用前 数学 本试卷共 4 页, 满分 150 分, 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则( ) A. B. C. D. 2. 已知平面向量 ，若 ，则 的值为( ) A. B. C. D. 14 3. 若复数 满足 ，则 ( ) A. 0 B. -2i C. D. 2 4. 若倾斜角为锐角且过点 的直线 截圆 所得弦长为 2,则 的斜率为 ( ) A. B. C. D. 1 5. 记 为等比数列 的前 项和,已知 ,则 ( ) A. -16 B. -1 C. 1 D. 16 6. 记 ,点 在椭圆 上,点 在圆 上,则 的最大值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 将1,1,2,2,3五张数字牌按顺序进行排列,其中相同的数字牌不相邻的排法总数为 ( ) A. 12 B. 26 C. 52 D. 104 8. 已知函数 ，若 在 上恒成立，则实数 的最大值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知函数 ，则( ) A. 的值域为 B. 零点绝对值的最小值为 C. 在区间 上单调递增 D. 曲线 的一条对称轴为 10. 已知定义在 上的偶函数 满足当 时, ,则( ) A. 曲线 过定点 B. 若 ,则 C. 若 ，则 有且仅有 4 个零点 D. 若 ，则 11. 现口袋里共有 4 个红球, 5 个黄球和 3 个蓝球, 它们除颜色外完全相同. 现进行取球, 则 ( ) A. 若取出球后放回口袋,每次只取一个球,则第 4 次取出黄球的概率为 B. 若取出球后不放回口袋,每次只取一个球,则第 2 次取出黄球的概率为 C. 若取出球后放回口袋, 每次只取两个球, 则第 4 次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 D. 若取出球后放回口袋, 每次只取两个球, 则第 2 次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 一个装有水的圆柱形玻璃杯,测得其内壁半径为 ,将一个半径为 的玻璃球完全浸入水中，水没有溢出，则杯中水面上升了_____cm. 13. 若 ,且 ,则 _____. 14. 在公差为正数的等差数列 中， ， ，则 _____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. 在 中, . (1)若 ，求 的外接圆半径； (2)若 是锐角三角形，证明: . 16. 如图,在直三棱柱 中， . 点 满足 (1)过点 作 垂直 于点 ，证明:平面 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. 某研发系统内在初始时刻有一个可分裂粒子, 在第 1 分钟末这个粒子分裂成两个新粒子, 共有三种分裂情况: 产生两个可分裂粒子,其概率为 ; 产生一个可分裂粒子与一个不可分裂粒子,其概率为 ; 产生两个不可分裂粒子,其概率为 . 新产生的每个可分裂粒子在 1 分钟末又会按照上述分裂情况分裂成两个新粒子, 不可分裂粒子在 1 分钟末被移出系统. 称系统中没有可分裂粒子时能量达到峰值. (1)求第 2 分钟末时能量首次达到峰值的概率； (2)记初始时刻后 2 分钟末时的可分裂粒子个数为 ，求 的分布列和数学期望. 18. 已知函数 . (1)证明: ； (2)证明: 存在唯一极值点； (3)记(2)中的极值点为 ，证明: . 19. 平面直角坐标系 中,抛物线 上的点到 的最小距离为 . (1)求抛物线 的方程； (2)过点 不垂直于坐标轴的直线 与 交于 两点，记点 关于 轴的对称点为 . (i) 证明: 直线 过定点; (ii) 记 的外接圆圆心为 ,求直线 斜率的取值范围. 1. B 集合 ,当 时, , 当 时, ,故 ... ...
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