高三数学试题 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 2. 若 ，则复数 在复平面上的对应点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知 ，则 在 上的投影向量为( ) A. B. C. D. 4. 已知某圆锥的侧面展开图是半圆, 则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为 ( ) A. 9:32 B. 9:16 C. 3:16 D. 27:32 5. 已知 ,则 ( ) A. B. 3 C. D. 2 6. 已知函数 . 若函数 有 3 个不同的零点，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 7. 内角 的对边分别为 ,满足 ,且 , 则( ) A. 为锐角 B. C. D. 8. 定义在 上的函数 满足: ,且 , 当 时， ，则 的最大值与最小值的差为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对酌情给分, 有错项的得 0 分. 9. 一组递增数据 的平均数为 3,方差为 4,极差为 6,若 , 其中 ,则( ) A. 的极差为 12 B. 的方差为 16 C. 的第 80 百分位数为 D. 的平均数为 5 10. 在直四棱柱 中,底面 为正方形, 为底面 (含边界) 上的动点, 为 的中点, 的长总是等于点 到平面 的距离，则下列说法正确的是( ) A. B. 直线 与 所成角的余弦值为 C. D. 四棱锥 体积的最小值为 11. 一条动直线 与圆 相切,并与圆 相交于点 ,点 为定直线 上动点，则( ) A. 存在直线 ，使得以 为直径的圆与 相切 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 一批产品的一等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次, 表示抽到的一等品件数,则 的方差 _____. 13. 已知 为双曲线 的左焦点， 是双曲线 的右顶点， 是双曲线 上一点，且 ， ，则双曲线 的离心率为_____. 14. 已知 ,对任意 在 上总有解,则实数 的最大值为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.(本题满分 13 分) 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义， 而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向. 某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示: 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量 (万辆) 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算 与 的相关系数 (保留三位小数); (2)求 关于 的线性回归方程，并预测该地区 2026 年新能源汽车购买数量. 参考公式: . 参考数值: . 16. (本题满分 15 分) 如图，直角梯形 中， ， ， ， 为 的中点,以 为折痕把 折起,使点 到点 的位置,且 . (1)设平面 与平面 的交线为 ，证明: ; (2)证明: 平面 ； (3)求二面角 的余弦值. 17. (本题满分 15 分) 已知函数 . (1)求函数 的单调区间； (2)若函数 恰有四个零点，求实数 的取值范围. 18.(本题满分 17 分) 已知数列 中， ， . (1)证明: 为等差数列，并求 的通项公式； (2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 ； (3)数列 满足: ，求 的最大项. 19. (本题满分 17 分) 在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的右顶点为 ,点 、 分别是 轴负半轴、 轴正半轴上的动点. 当 时，点 恰好在椭圆 的左焦点 处,且 . (1)求椭圆 的方程； (2)若 ，求 值； (3)若 ，过 的直线 与 交于 ， 两点(两点不重合)，与 轴交于点 ， 且 的纵坐标大于1,记 到直线 的距离分别为 和 . 若存在直线 满足 ,求实数 的取值范围. 高三数学试题参考答案 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 () A. B. C. D. 【答案】A. ,则 ,得 . 2. 若 ,则复数 在复平面上的对应点位于( ) ... ...
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