1.利用导数求函数的单调区间及极值(最值)、结合单调性与不等式的成立情况求参数范围是高考命题的热点。 2．常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等式、方程等交汇命题，主要考查转化与化归思想、分类讨论思想的应用。 3．题型主要以解答题为主，属中高档题。 热点题型一 判断或证明函数的单调性 例1、设a∈－2,0]，已知函数f(x)＝ 证明f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增。 当x＞1时，f′2(x)＞0， 即函数f2(x)在区间0,1)内单调递减， 在区间(1，＋∞)内单调递增。 综合①②及f1(0)＝f2(0)， 可知函数f(x)在区间(－1,1)内单调递减， 在区间(1，＋∞)内单调递增。 【提分秘籍】导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)求f′(x)； (2)确认f′(x)在(a，b)内的符号； (3)作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数。 【举一反三】 已知函数f(x)＝x2－ex，试判断f(x)的单调性并给予证明。 【解析】f(x)＝x2－ex，f(x)在R上单调递减， f′(x)＝2x－ex，只要证明f′(x)≤0恒成立即可。 设g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex， 当x＝ln2时，g′(x)＝0， 当x∈(－∞，ln2)时，g′(x)>0， 当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)<0。 ∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2<0， ∴f′(x)<0恒成立， ∴f(x)在R上单调递减。 热点题型二 求函数的单调区间 例2、已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间。 单调递减区间为(－1－，－1＋)。 【提分秘籍】 求函数的单调区间的“两个方法” 方法一 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)； (3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间。 方法二 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； (3)把函数f(x)的间断点(即f(x) 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间； (4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性。 【举一反三】 设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)。 (1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值。 ＝8a－6，故a＝。 (2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x＞0)， f′(x)＝x－5＋＝。 令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3。 当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0，故 f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上为减函数。 由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3。 热点题型三 已知函数的单调性求参数的范围 例3．函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)。 (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围。 【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)。 ①若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝－1。故此时f(x)在R上是增函数。 ②由于a≠0，故当a＜1时，f′(x)＝0有两个根； x1＝，x2＝。 若0＜a＜1，则当x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)时f′(x)＞0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数； 【提分秘籍】 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集。 (2)转化为不等式的恒成立问题来求解：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”。 提醒：]f(x)为增函数的充要条件是对任意 的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0。应注意此时式子中 ... ...
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