2026 届高三测试 数学试题 注意事项 1 本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟 2 答卷前考生务必将姓名准考证号填写在答题卡上 3 答选择题时请用 2B 铅笔把答案涂在答题卡上. 一、单选题 1. 已知集合 ，集合 ，则 () A. B. C. D. 2. 已知 复数 为纯虚数，则 是 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 记 为数列 的前 项和,已知 . 当 最大时, ( ) A. 9 B. 10 C. 9 或 10 D. 10 或 11 4. 已知向量 满足 ，则向量 与 的夹角为( ) A. B. C. D. 5. 已知在圆 内,过点 的最长弦和最短弦分别是 和 , 则四边形 ABCD 的面积为( ) A. B. C. D. 6. 墙上挂着一幅高为 的画,画的上端到地面的距离为 ,某摄像机在地面上拍摄这幅画. 将画上端一点 、下端一点 与摄像机连线的夹角称为视角 (点 与摄像机在同一竖直平面内), 且把最大的视角称为最佳视角. 若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计, 则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为( ) A. B. C. D. 7. 已知定点 ，点 为抛物线 上一动点， 到 轴的距离为 ，则 的最小值为( ) A. 4 B. 5 C. D. 8. ，不等式 恒成立，则正实数 的最大值是( ). A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知事件 满足 ，则下列结论正确的是( ). A. 若 ,则 B. 若 与 互斥,则 C. 若 ,则 与 相互独立 D. 若 与 相互独立,则 10. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 分别是 的中点，则( ) A. 四点共面 B. 异面直线 与 所成角的余弦值为 C. 平面 截正方体所得截面为等腰梯形 D. 三棱锥 的体积为 11. 已知函数 的定义域均为 ,且 . 若 是偶函数， ，则( ) A. 是奇函数 B. 4 是 的一个周期 C. D. 三、填空题 12. 若圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，则该圆锥的侧面积为_____. 13. 已知 ，二项式 的展开式中所有项的系数和为 64，则展开式中的常数项为_____. 14. 记 表示 三个数中的最大数. 若函数 的值域为 ,则 的最小值为_____. 四、解答题 15. 如图,已知在四棱锥 中, 平面 ,四边形 为直角梯形, ,点 是棱 上靠近 端的三等分点. (1)证明: 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值. 16. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查. 统计其中 400 名居民体育锻炼的次数与年龄, 得到如下的频数分布表. 年龄次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周 0~2 次 70 55 36 59 每周 3~4 次 25 40 44 31 每周 5 次及以上 5 5 20 10 (1)若把年龄在 的锻炼者称为青年，年龄在 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过 2 次的称为体育锻炼频率低, 不低于 3 次的称为体育锻炼频率高, 根据小概率值 的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； (2)从每周体育锻炼 5 次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样, 抽取 8 人, 再从这 8 人中随机抽取 3 人, 记这 3 人中年龄在 与 的人数分别为 ,求 的分布列与期望; (3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球 3 种运动项目中选择一种, 已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目, 如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球,则星期天选择跑步的概率分别为 ,求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式: . 附: 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数 (1)讨论函数 的单调区间； (2)若曲线 在 处的切线垂直于直线 ,对任意 ， 恒成立,求实数 的最大值; 18. 如图，直线 与直线 ,分别与抛物线 交于点 和点 ( 在 轴同侧)，线段 与 交于点 . 当 经过 的焦点 时 、 两点的纵坐标之积等于 (1)求抛物线 的标准方程； (2)线段 与 交于点 ，线段 与 的中点分别为 ① 求证: 三点共线； ②若 ，求四边形 的面积. 19. 已知 是无穷数列， 是数列 的 ... ...
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