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课件网) 第5节 空间向量与线面位置关系 课标解读 1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解 及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示. 4.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 5.能够借助空间向量解决向量的共线、共面问题，以及平行、垂直问题. 内 容 索 引 必备知识巩固 关键能力提升 教考衔接 知识梳理 考点一 空间向量的线性运算及共线、共面定理 考点二 空间向量数量积及应用 考点三 利用空间向量证明平行与垂直 1.[教材改编]若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各组向量中，能构成空间向量的一个基底的共有 个. ①a，a＋b，a－b；②b，a＋b，a－b；③c，a＋b，a－b；④a＋b，a－b，a＋2b. 【解析】 ∵λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b共面，∴①②④错误. 2.[教材改编]如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的 交点为点M，设=a，=b，=c，则向量=_____ (用向量a，b，c表示). 【解析】 ()==－a－b－c. 1 －a－b－c 3.[教材改编]已知直线l1，l2的方向向量分别为a=(－2，2，1)，b=(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m= . 【解析】 ∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b=－6－4＋m=0，解得m=10. 4. (对共面向量定理理解有误)已知a=(2，1，－3)，b=(－1，2，3)，c=(7，6，λ)，若a，b，c三个向量共面，则λ=( ) A. 9 B. －9 C. －3 D. 3 【解析】 由题意知c=xa＋yb，即(7，6，λ)=x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，∴解得λ=－9. 易错题 10 B 5. (易忽视对应系数相等)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，=x＋y()，则( ) A. x=1，y= B. x=1，y= C. x=，y=1 D. x=1，y= 【解析】 ().由= x＋y()，对照可知x=1，y=. 易错题 D 6. (忽视向量夹角与其余弦值的对应关系)若a=(－1，λ，－2)，b=(2，－1，1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为 . 【解析】 ∵a=(－1，λ，－2)，b=(2，－1，1)，a与b的夹角为120°， ∴cos 120°==－，解得λ=－1，或λ=17. 易错题 17或－1 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有 和 的量 相等向量 方向 且模 的向量 相反向量 长度 而方向 的向量 共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 的向量 共面向量 平行于 的向量 大小 方向 相同 相等 相反 相等 平行 重合 同一个平面 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 . (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使 . (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p= ，{a，b，c}叫做空间的一个 . a=λb 唯一 xa＋yb＋zc 基底 p=xa＋yb 3.空间向量的数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积 数量积 a·b= 垂直关系 a⊥b (a，b为非零向量) 模 设a=(x，y，z)，则|a|2=a2，|a|= _____ |a||b|cos＜a，b＞ a·b=0 (2)空间向量的坐标运算 a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3) 向量和 a＋b= 向量差 a－b= 数量积 a·b= 共线 a∥b a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b 夹角 公式 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1b1＋a2b2＋a3b3=0 4.直线的方向向量与平面的法向量 5.空间位置关系的向量表示 直线的方 向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l ，则称此向量a为直线l的方向向量 平面的 法向量 ... ...
