第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 课件（共9份PPT打包）2027版高三数学一轮复习

(课件网) 第6节　一元二次不等式恒(能)成立问题 课标解读　 掌握解决不等式恒(能)成立问题的常用方法：判别式法、数形结合法、分离参数法、 主参换位法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体的条件选择合适的方法求解. 内 容 索 引 关键能力提升 考点一 形如f(x)≥0(f(x)≤0)的不等式 在R上恒成立求参数 考点二 形如f(x)≥0的不等式在区间[a， b]上恒成立求参数 考点三 给定参数范围的恒成立问题 考点四 一元二次不等式能成立问题 考点一　形如f(x)≥0(f(x)≤0)的不等式在R上恒成立求参数 (多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3＜0恒成立，则实数k可以是(　 　) A. 0 B. －24 C. －20 D. －2 【解析】 当k=0时，不等式即为－3＜0，不等式恒成立；当k≠0时，若不等式恒成立，则 －24＜k＜0，于是－24＜k≤0. 例 1 ACD 一元二次不等式恒成立的条件： 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c＞0 a＞0，Δ＜0 ax2＋bx＋c≥0 a＞0，Δ≤0 ax2＋bx＋c＜0 a＜0，Δ＜0 ax2＋bx＋c≤0 a＜0，Δ≤0 (1)若关于x的一元二次不等式2x2－kx＋＞0对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围是(　 　) A. {k|k＜} B. {k|k＜－} C. {k|－＜k＜} D. {k|k＞－} 【解析】 由题意Δ=(－k)2－4×2×＜0，整理可得k2－3＜0，解得－＜k＜. (2)已知关于x的不等式mx2＋mx＋1＞0恒成立，则m的取值范围是　 　. 【解析】 当m=0时，不等式1＞0恒成立，∴m=0符合题意；当m≠0时，若关于x的不等式mx2＋mx＋1＞0恒成立，则解得0＜m＜4.综上，m的取值范围是[0，4). 跟踪训练1 C [0，4) 考点二　形如f(x)≥0的不等式在区间[a，b]上恒成立求参数 (2025·辽宁大连模拟)已知 x∈[1，2]， y∈[2，3]，y2－xy－mx2≤0，则实数m的取值范围是(　 　) A. [4，＋∞) B. [0，＋∞) C. [6，＋∞) D. [8，＋∞) 【解析】 ∵x∈[1，2]，y∈[2，3]，则∈，∴∈[1，3]，又y2－xy－mx2≤0，可得m≥，令t=∈[1，3]，则 t∈[1，3]，m≥t2－t，即只需m≥(t2－t)max，t2－t=，当t=3时，t2－t取到最大值，(t2－t)max=9－3=6，∴实数m的取值范围是[6，＋∞). 例 2 C 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法： (1)最值转化法：若f(x)＞0在集合A中恒成立，则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0；若f(x)＜0在集合A中恒成立，则函数y=f(x)在集合A中的最大值小于0. (2)分离参数法：把不等式化为a＞f(x)，或a＜f(x)的形式，只需求解a＞f(x)max，或a＜f(x)min. (3)数形结合法：根据图象列出约束条件求解. 已知函数f(x)=x2－mx＋2m－4(m∈R). 当x＞2时，不等式f(x)≥－1恒成立，则实数m的取值范围是　 　. 【解析】 f(x)≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x＞2时恒成立，令g(x)=x2－mx＋2m－3， ①若≤2，即m≤4，只需g(2)≥0，即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立，∴m≤4满足题意；②若＞2，即m＞4，只需Δ=m2－4(2m－3)≤0，则(m－2)(m－6)≤0，∴4＜m≤6.综上，m的取值范围是{m|m≤6}. 跟踪训练2 {m|m≤6} 考点三　给定参数范围的恒成立问题 若mx2－mx－1＜0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围是 　. 【解析】 设g(m)=mx2－mx－1=(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1，2]时，图象为一条线段，则即解得＜x＜，故x的取值范围是. 例 3 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，对于给定参数范围的恒成立问题，一般是把自变量看作参数，把不等式看作关于参数的函数解决问题. 若不等式x2－ax≥16－3x－4a对任意a∈[－2，4]恒成立，则x的取值范围是(　 　) A. (－∞，－8]∪[3，＋∞) B. (－∞，0)∪[1，＋∞) C. [－8，6] D. (0，3] 【解析】 由题得不等式(x－4)a－x2－3x＋16≤0对任意a∈[－2，4]恒成立，∴即解得x≥3，或x≤－8. 跟 ... ...