第11 讲 平行四边形与全等 培优练习（含答案） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第11 讲 平行四边形与全等 板块一 平行四边形与全等(一)线段倍分 典 例 精 讲 题型①“手拉手”———位置的特殊到一般 【例1】已知△ABC 和△ADE 都是等边三角形,四边形 BCFD 为平行四边形,连接EF. (1)如图1,当点 D 在AC边上时,求证:①EF=CF;②∠EFC=60°; (2)如图2，当点 D 在△ABC 内部时，(1)中的结论还成立吗 请说明理由. 题型② “脚拉脚”———位置的特殊到一般 【例2】已知 和 都是等腰直角三角形， 四边形 CEFB为平行四边形，连接BD，DF. (1)如图1,当点 E 在 AB 边上时,求:①∠DBF 的度数; 的值； (2)如图 2,当点 E 在. 内部时，(1)中的结论还成立吗 请说明理由. 题型 ③ “手拉脚”———图形的特殊到一般 【例3】如图,在△ABC 和△CDE 中, ,四边形 BCDF为平行四边形，连接AF，EF. (1)如图1,当∠BAC=90°时,求∠AFE 的度数; (2)如图2,当∠BAC=α时,求∠AFE 的度数. 实 战 演 练 1.如图,分别以△ABC 的边AB,AC 为斜边作等腰直角△ABD 和 ,再以AD,AE 为邻边作□ADFE,连接BF.求证: 2.如图，在 与 中, ,四边形 CDFB 为平行四边形.求证： 板块二 平行四边形与全等(二)线段和差 典 例 精 讲 【例1】如图,在 ABCD 中,F在AB 边上,连接CF,且∠FCD=∠D.过点 A 作AG⊥BC于点G,交 CF 于点E. (1)求证:∠FCB=2∠BAG; (2)若AD=AG,求证:CE=BG+AE. 【例2】如图,在 ABCD 中,BM 平分∠ABC 交AD 于点M. (1)求证:AM=CD; (2)过点 A 作AE⊥DC 交DC 的延长线于点E,交 BM 于点G.若AB=AE,求证:MD=AG+EC. 实 战 演 练 1.在 ABCD 中,F为CD 上一点,DE⊥BC 交AF 于点M,交 BC 于点E,DF=AD=DE.=DE.求证:CD=DM+EC. 2.如图,在 ABCD中,AB=AC,E为AD 上一点,F为AC 的延长线上一点, 90°.求证: 3.如图，在 中， ,E,D 分别为 内、外一点，四边形 CEDB 为平行四边形，且 (1)求证: (2)连接AE.求证: 第11 讲 三角形的中位线 板块一 中位线(一) 连接构中位线 典例精讲 【例1】30°解:连接 PE,则 PE∥AD,AD=2PE,BC=2PF,PF∥BC. ∵AD=BC,∴PE=PF,∠FPD=∠CBD=45°. ∵∠EPB=∠ADB=105°, ∴∠EPD=75°,∠FPE=120°, ∴∠PEF=30°. 【例2】解:连接CD,AE 交于点O. ∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形,∴AB = BD,BE = BC,∠ABD =∠CBE=60°, ∴∠ABE=∠DBC, ∴△ABE≌△DBC, ∴∠AEB=∠DCB, ∴∠BAE+∠AEB=∠CBE=60°, ∴∠BAE+∠DCB=60°.∵M,N,F 分别是AD,EC,AC 的中点, ∴MF∥CD,NF∥AE, ∴∠MFA=∠DCB,∠NFC=∠EAB, ∴∠MFA + ∠NFC = ∠DCB +∠EAB=60°,∴∠MFN=120°. 实战演练 1.5 解:连接BH. ∵E,F 分别是AB,AH 的中点, ∵BC=AB=4,∠C=90°, 2.证明:连接CE,BD 交于点O,连接PN.由题意,得 AB = AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE, ∴△ABD≌△ACE, ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE, ∴∠BAC=∠BOC=90°. ∵M,N,P 分别是 BE,CD,BC 的中点， ∴MP∥CE,CE=2MP,PN∥BD,BD=2PN,∴MP=PN, ∴∠MPB=∠OCB,∠NPC=∠OBC, ∴∠MPB+∠NPC=90°, ∴∠MPN=90°, △MPN 为等腰直角三角形， 板块二 中位线(二)延长构中位线 典例精讲 【例1】解:延长 ED 交BC 于点 F. ∵∠ECD=∠FCD=45°,CD=CD,∠CDE=∠CDF=90°, ∴△CDE≌△CDF,∴ED=DF. ∵EM=MB,∴FB=2DM. ∵AC=CB,CE=CF, ∴FB=AE=2DM. 【例2】证明:延长 DF 交 BC 于点 H.∵AD∥BC,∴∠DAF=∠HCF.又∵AF=CF,∠AFD=∠CFH, ∴△ADF≌△CHF, ∴DF=FH,AD=CH. ∵E 是BD 的中点, 实战演练 1.解:延长 DE 交 BC 的延长线于点G.∵AB∥CD,∴∠ABC=∠DCG. ∵∠ABC=2∠DCE, ∴∠DCG=2∠DCE, ∴∠DCE=∠GCE. ∵DE⊥CE,∴∠CDG=∠G, ∴CD=CG,E 为DG 的中点. ∵O是AC,BD的交点, ∴DO=BO,∴BG=2OE=24. ∵BG=BC+CG=BC+CD, ∴ ABCD的周长为2(BC+CD)=48. 2.解:延长 EH 交 BC 的延长线于点 M. ∵BE 平分∠ABC,AF⊥BE, ∴AB=AE=3,BF=EF. ∵DH=CH,DE∥CM, ∴△DEH≌△CMH, ∴EH ... ...