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课件网) 拓 视 野 欧拉公式及应用 欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名 数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角 函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被 誉为“数学中的天桥”. 【例】 （1）欧拉公式ei θ＝ cos θ＋i sin θ把自然对数的底数e、虚数 单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满 足（eiπ＋i）·z＝i，则z的虚部为（ B ） C. 1 D. －1 解析：由欧拉公式知：eiπ＝ cos π＋i sin π＝－1，∴（eiπ＋i）·z＝ （－1＋i）·z＝i，∴z＝ ＝ ＝ ＝ － i，∴z的虚 部为－ ，故选B. B （2）（多选）欧拉公式exi＝ cos x＋i sin x（其中i为虚数单位， x∈R），依据欧拉公式，下列选项正确的是（ BC ） A. 复数e2i对应的点位于第三象限 BC 解析：由题知e2i＝ cos 2＋i sin 2，而 cos 2＜0， sin 2＞0，则复 数e2i对应的点位于第二象限，故A错误； ＝ cos ＋i sin ＝ i，则 为纯虚数，故B正确； ＝ ＝ ＝ ＋ i，则 的模为 ＝ ＝ ，故C正确； ＝ cos ＋i sin ＝ ＋ i，其共轭复数为 － i，故D错误.故选B、C. 【迁移应用】 1. （2024·济南月考）欧拉公式eiθ＝ cos θ＋i sin θ（e＝2.718 28…），被誉为数学上优美的数学公式.已知 ＝ ＋ i，则θ＝（ ） 解析： ∵eiθ＝ cos θ＋i sin θ，∴ ＝ cos （θ＋ ）＋i sin （θ＋ ）＝ ＋ i，∴ θ＋ ＝2kπ＋ （k∈Z），∴θ＝2kπ＋ （k∈Z），故选B. 2. （多选）公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R，i为虚数单位）在复变函 数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则 有（ ） A. eiπ＋1＝0 C. ｜eix＋e－ix｜≤2 D. －2≤eix－e－ix≤2 解析： 对于A，当x＝π时，因为eiπ＝ cos π＋i sin π＝－1， 所以eiπ＋1＝0，故选项A正确；对于B，（ ＋ i）2 025＝（ cos ＋i sin ）2 025＝（ ）2 025＝e675πi＝ cos 675π＋i sin 675π＝－1， 故选项B正确；对于C，由eix＝ cos x＋i sin x，e－ix＝ cos （－x） ＋i sin （－x）＝ cos x－i sin x，所以eix＋e－ix＝2 cos x，得出｜eix ＋e－ix｜＝｜2 cos x｜≤2，故选项C正确；对于D，由C选项的分 析得eix－e－ix＝2i sin x，推不出－2≤eix－e－ix≤2，故选项D错误. 故选A、B、C. 知能演练·扣课标 课后巩固 核心素养落地 1. 复数z＝i（2－i）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： z＝i（2－i）＝2i－i2＝1＋2i，∴复数对应的点的坐标 为（1，2），位于第一象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. 已知复数z＝ ＋5i，则｜z｜＝（ ） 解析： z＝ ＋5i＝ ＋5i＝－1＋7i，故｜z｜＝ 5 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. （2024·新高考Ⅰ卷2题）若 ＝1＋i，则z＝（ ） A. －1－i B. －1＋i C. 1－i D. 1＋i 解析： 法一 因为 ＝ ＝1＋ ＝1＋i，所以z＝1＋ ＝1－i.故选C. 法二 由 ＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. （1＋i）20－（1－i）20＝（ ） A. －1 024 B. 1 024 C. 0 D. 512 解析： ∵（1＋i）2＝2i，∴（1＋i）4＝－4，又（1－i）2＝－ 2i，∴（1－i）4＝－4，∴（1＋i）20－（1－i）20＝（－4）5－ （－4）5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. （多选）在复平面内，复数z对应的点与复数 对应的点关于实 轴对称，则（ ） A. 复数z＝1＋i C. 复数z对应的点位于第一象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 复数 ＝ ＝ ＝－1 ... ...
