1.2 等腰三角形 课后培优提升同步训练（含答案）北师大版2025—2026学年八年级下册

1.2等腰三角形课后培优提升同步训练北师大版2025—2026学年八年级下册 一、选择题 1．边长为的等边三角形，它的高是（ ） A． B． C． D． 2．如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（ ） A． B． C． D．无法确定 3．用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（ ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，，，点在坐标轴上，当是等腰三角形时，满足条件的点有（ ）个 A． B． C． D． 5．如图，是的中线，，，把沿直线折叠后，点C落到的位置上，那么为（ ） A．1 B． C．2 D．2 6．如图，中，，D是边上一点，且，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 7．如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在等边中，D为边中点，，点P为线段上一动点，连接，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 二、填空题 9．在等腰中，是直线上一点，满足．若，则的度数为_____． 10．如图，等边的边长为2，于点D，E为射线上一点，以为边在左侧作等边，则的最小值为_____． 11．如图，在中，与的平分线交于点经过点D，分别交于点，点D到的距离为5，则的面积为_____． 12．如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 三、解答题 13．如图，点A、B是线段上方两点．与相交于点C，且，． (1)求的度数； (2)求证：． 14．如图，，，点在边上，，，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．已知是等边三角形，点在边上，作于点，为直线上一点． (1)如图1，点在边上，连接、，若，，，求的长； (2)如图2，点为延长线上一点，若，连接交于点，求证：． 16．如图1，中，，点为斜边上动点． (1)边 ； (2)如图2，过点作交于点，连接，当平分时，求； (3)如图3，在点的运动过程中，连接，若为等腰三角形，直接写出的长为 ． 17．如图，和都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接，交于点M，连接， (1)求证：． (2)试探究线段与线段，之间的数量关系，并说明理由． 18．已知：为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，，连接，． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，求证：． (3)如图，设交于点，交于点，与交于点，若点为中点，且，请探究和的数量关系，并证明你的结论． 参考答案 一、选择题 1．B 2．C 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C 8．A 二、填空题 9．或 10． 11．15 12． 三、解答题 13．【详解】（1）解：如图1，在上取一点D，使，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长、交于， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 14．【详解】（1）证明：由题意知，， ∵，， 而， ∴， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）知，，， ∴， ∴， ∴． 15．【详解】（1）解：是等边三角形， ， 于点， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的长为4． （2）证：作平行于交于点， ∴，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 16．【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 在中， ∴， ∴． （3）解：依题意，∵为等腰三角形， ∴①当时，为等腰三角形 ∵， ∴． ②当时，为等腰三角形 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ③当时，为等腰三角形， 如图1中，作于点H， 则， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴． 综上所述：的值为15或12.5或18． 17．【详解】（1）证明：与都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中 ， （）， （2）解：； 理由如下： 如图，在上取点F，使，连接， ∵， ... ...