2026 广州市第六中学高二下学期开学考试 数学试题 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 复数 (其中 为虚数单位) 的虚部为( ) A. i B. -i C. 1 D. -1 3. 甲、乙、丙三人破译一份密码,若三人各自独立破译出密码的概率为 ,且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为( ) A. B. C. D. 4. 已知 ,则 ( ) A. B. C. -2 D. 2 5. 在棱长为 4 的正方体 中, 分别是棱 的中点,过 作平面 ,使得 ,则点 到平面 的距离是 ( ) A. B. C. D. 6. 已知 ，则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 7. 已知数列 满足 ,设甲: ,乙: 为等差数列. 则甲是乙的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知椭圆 和双曲线 有公共焦点, 左,右焦点分别为 ,设两曲线在第一象限的交点为 ,设椭圆 的离心率为 ,双曲线 的离心率为 ,若 ,则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 下列说法错误的是( ) A. 直线 的倾斜角 的取值范围是 B. 若圆 上恰有两点到点 的距离为 1,则 的取值范围是 C. “直线 与直线 互相垂直”是“ ”的充分而不必要条件 D. 过点 且在 轴、 轴上的截距相同的直线方程是 10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,左、右顶点分别为 , . 若 在第一象限,且在 的右支上, 到 轴的距离为 ,过 作动直线 与 的左支交于 两点,则( ) A. B. 的一条渐近线的倾斜角为 C. 直线 与 的交点在直线 上 D. 的内切圆的圆心坐标为 11. " 0,1 数列”是每一项均为 0 或 1 的数列,在通信技术中应用广泛. 设 是一个“0,1 数列”,定义数列 : 数列 中每个 0 都变为“ 1,0,1 ”, 中每个 1 都变为“0,1,0 ”, 所得到的新数列. 例如数列 ,则数列 . 已知数列 ,且数列 ,记数列 中 0 的个数为 的个数为 ,数列 的所有项之和为 ,则下列结论正确的是 ( ) A. 数列 为等比数列 B. 数列 为等比数列 C. 数列 为等比数列 D. 数列 为等比数列 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知函数 在 的最大值和最小值分别为 ,则 _____. 13. 已知函数 ,则 的最大值是_____. 14. 已知 是棱长为 的正四面体 ,设 的四个顶点到平面 的距离所构成的集合为 ,若 中元素的个数为 ,则称 为 的 阶等距平面, 为 的 阶等距集. 如果 为 的 1 阶等距平面且 1 阶等距集为 ,则符合条件的 有_____个， 的所有可能取值构成的集合是_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. 设函数 . (1)若 在点 处的切线为 ,求 的值; (2) 求 的解集. 16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 的中点. (1)若 ,证明: 平面 ; (2)已知 ，平面 和平面 的夹角的余弦值为 ，求四棱锥 的体积. 17. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 . (1)若 ，求 ； (2)求 的最小值. 18. 已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆的左、右顶点， 为椭圆的上顶点,且 . (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线 交椭圆于 ， 两点，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 的值. 19. 已知点 是抛物线 上一点，点 ， . (1)求 的坐标和抛物线 的方程； (2)连接 交 于另一点 ，令 为 关于 轴的对称点，连接 交 于另一点 ，令 为 关于 轴的对称点......，如此不断循环，即连接 交 于另一点 ，令 为 关于 轴的对称点,得到点列 和 ,设 . (i) 证明: 数列 为等差数列; (ii) 记四边形 的面积为 ,求 并证明: . 1. A 由 ,得 ,所以 ,则 . 又 , 所以 不是 的子集. 故选: A. 2. D 因为 ,所以其虚部为 -1 . 故选: D. 3. ... ...
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