襄阳四中 2026 届高三下学期数学综合测试 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项符合题目要求. 1. 若集合 ，则 () A. B. C. D. 2. 设 为单位向量,且 ,则 ( ) A. 1 B. C. D. 2 3. 若椭圆 的长轴长是短轴长的、 倍,则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. 4. 在等差数列 中, 为其前 项和. 若 ,则 ( ) A. 420 B. 210 C. 198 D. 105 5. 若 ,则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 6. 已知二项式 的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大,则展开式中 项的系数为( ) A. -160 B. -80 C. 80 D. 160 7. 三棱锥 满足 ，且 ， ，则三棱锥 外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 8. 有一组样本数据 ,其中 . 已知 , 设函数 . 则 的最小值为 ( ) A. 19 B. 100 C. 190 D. 200 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的 得 0 分. 9. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列正确的有( ) A. B. C. 是函数 的一条对称轴 D. 函数 的图象可以由函数 的图象向左平移 个单位得到 10. 已知直线 与抛物线 交于 两点， 为抛物线的焦点， 过点 作 的垂线交直线 于点 ,则() A. B. C. 若 ，则 D. 若 ，则 11. 已知 是首项为 ,公比为 的递增等比数列,其前 项和为 . 若对任意的 ,总存在 ,使得 ,则称 是 “可分等比数列”,则 ( ) A. 不是 “可分等比数列” B. 是 “可分等比数列” C. 若 是 “可分等比数列”，则 D. 若 是 “可分等比数列”，则 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. _____. 13. 已知坐标原点到直线 的距离为1，则 的最大值为_____. 14. 已知函数 的两个极值点为 ，记 ， . 点 在 的图象上，满足 均垂直于 轴，设点 的横坐标为 . (1) _____. (2)若四边形 为菱形,则 _____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤. 15. 在 中,内角 的对边分别是 . (1)求A的值； (2)若 ，求 的面积. 16. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 ; 当输入的问题表达不清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为 . 已知输入的问题表达不清晰的概率为 . 每次回答是否被采纳相互独立. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了 3 个问题，设 表示智能客服的回答被采纳的次数，求 的分布列及期望、方差; (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了 10 个问题，智能客服的回答每被采纳 1 次计 10 分,不采纳则不计分. 记被采纳的回答数的总得分为 ,若 ,则推广该系统. 试推断该系统是否会得到推广, 请说明理由, 17. 如图 1,在边长为 2 的正方形 中, 分别为线段 的中点,现将四边形 CDFE 折起至 MNFE，得到三棱柱 ，如图 2 所示，记二面角 的平面角为 . 图1 图2 (1)若 时,求三棱柱 的体积; (2)若 为线段 上一点，满足 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 18. 已知定义在 上的函数 . ( 1 )求曲线 在点 处的切线方程； (2) 设 为函数 的图象上不同于原点 的三个不同的点,其中 . ①证明: ； ②定义 两点间的距离如下: ， 证明: . 19. 已知双曲线 的焦点 到一条渐近线的距离为 1,且点 在双曲线 上. (1)求双曲线 的方程； (2)斜率为 -1 的直线与双曲线 的右支交于 、 两点(异于点 ). ① 求直线 、 的斜率之和； ②若 的外接圆圆心为 ，试问在 轴上是否存在定点 使 为定值，若存在,求出 点坐标,若不存在,请说明理由. 1. A 根据集合交集的概念运算即可求解. 因为集合 ,集合 , 所以 . 故选: A. 2. B 根据向量模的关系得 ,再计算 即可. 因为 为单位向量,所以 , 因为 ,平方得 ,即 , 所以 ,即 . ... ...
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