平面向量知识归纳

第五章 平面向量 第五章 平面向量 一、向量有关概念： （1）向量的概念： 既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 例：已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量 (与共线的单位向量是)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）： 方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。 特别提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有)； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 例：下列命题： ①若，则是平行四边形。 ②若，则。 ③两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 ④若，则。 ⑤若是平行四边形，则。 ⑥若，则。 其中正确的是_____ （答：⑤⑥） 二、向量的表示方法： （1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如：，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等； （3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三、平面向量的基本定理： 如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使=＋。 例：①若，则_____ （答：）； ②下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( ) （答：B）； (A). (B). (C). (D). ③已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____ （答：）； ④已知中，点在边上，且，，则的值是___ （答：0） ⑤、不共线，，用、表示． （答：） 四、实数与向量的积： 实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，， 注意：≠0。 五、平面向量的数量积： 1、两个向量的夹角： 对于非零，，作，称为向量，的夹角， 特别地：当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。 例：①已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_____ （答：）； ②已知与有关系式，（Ⅰ）用表示； （Ⅱ）求的最小值，并求此时与的夹角的大小 （答：（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为，） 2、平面向量的数量积： 如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 例：①△ABC中，，，，则_____（答：－9）； ②已知，与的夹角为，则等于____（答：1）；③已知，则等于____ （答：）； 3、在上的投影为，也即：或，它是实数，但不一定大于0。 例：已知，，且，则向量在向量上的投影为____ （答：-） 4、的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。 5、向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则： （1）； （2）①当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－； ②当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件； 例：已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是____ （答：或且）； （3）非零向量，夹角 ... ...