26．3实际问题与二次函数

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 第二十六章二次函数 第18课时　　§26．3　实际问题与二次函数 函数是数与代数部分中的重要内容应用最广泛的数学模型之一。对于这类函数应用问题，要求首先分析和表示不同背景下实际问题中量与量之间的关系，进而建立适当函数模型，利用函数的有关性质解决实际问题中的最大（小）值，解决生活中的最优化问题。题目在设置上具有明显的层次性，入手容易，但得满分难，兼顾数学的基础性、普及性和发展性，力求使不同层次的学生都有所收获。 点击一：拱桥设计问题 我们知道，抛物线是一种对称的曲线，因此，桥梁设计专家总是将桥梁设计成抛物线形 状，这样桥梁既优美大方，又坚固实用，正因如此，很多省市的中考命题专家往往以拱桥为背景，设计成丰富多彩的能够利用二次函数的性质解决问题的试题 针对练习1: 1.连接着汉口集家咀的江汉三桥(晴川桥)，是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥.它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观.桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米.以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系. （1）求抛物线的解析式； （2）正中间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一 半？请说明理由. 解析：（1）设抛物线的解析式为：∵B（140，0），E（70，42）， ∴ 解得a=—,c=56. ∴ （2）当x=0时，，∴OC=56（米）. 设存在一根系杆的长度是OC的一半，即这根系杆的长度为28米， 则28=—解得： ∵相邻系杆之间的间距均为5米，最中间的系杆OC在y轴上， ∴每根系杆上的点的横坐标均为整数， ∴与实际不符，∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半. 2.如图3所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱，5根支柱之间的距离均为15m，，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱的长度． 解析：（1），，； （2）设抛物线的表达式为， 　 把代入得． 　 ． 　 所求抛物线的表达式为：． 　（3）点的横坐标为15， 　 的纵坐标． 　 ，拱高为30， 　 立柱． 　 由对称性知：． 点击之二：商场利润问题 二次函数在实际生活中有着广泛的应用,在商业活动中也不例外。近几年来，以商业活动为背景的实际应用题层出不穷。这些试题新颖灵活，具有较强的时代气息，给人以耳目一新之感 针对练习2： 1. 欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把），欣欣商店根据销售记录，这批雨伞以零售单价每把为14元出售时，月销售量为100把．如果零售单价每降价0.1元 , 月销售量就要增加5把． (1)欣欣日用品零售商店以零售单价14元出售时，一个月的利润为多少元？ 　　(2)欣欣日用品零售商店为了扩大销售记录,现实行降价销售,问分别降价0.2元、0.8元、1.2元、1.6元、2.4元、3元时的利润是多少？ 　　(3)欣欣日用品零售商店实行降价销售后，问降价多少元时利润最大？最大利润为多少元？ 　　(4)现在该公司的批发部为了再次扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部分每把按原价九五折（即百分之95）付费，但零售价每把不能低于10元．欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？（销售利润=销售款额—进货款额） ... ...