2003审查人教版第一册上通项的求法

通项的求法 储炳南 （安徽省岳西中学 246600） 1．通项的求法 为了求出递推数列的通项，我们先给出如下两个定义： 定义1：若数列{}满足，则称为数列{}的特征函数. 定义2:方程=x称为函数的不动点方程，其根称为函数的不动点. 下面分两种情况给出递推数列通项的求解通法. (1)当c=0,时, 由, 记,，则有 （k≠0）, ∴数列{}的特征函数为=kx+c, 由kx+c=xx=,则 ∴数列是公比为k的等比数列, ∴. (2)当c≠0时, 数列{}的特征函数为：= 由 设方程的两根为x1,x2,则有: , ∴……(1) ……(2) 又设(其中,n∈N*,k为待定常数). 由 ……(3) 将(1)、（2）式代入(3)式得: ∴数列{}是公比为(易证)的等比数列. ∴= . 2．应用举例 例1：已知数列{an}中，a1=2，，求{an}的通项。 解：因为{an}的特征函数为：, 由, ∴ ∴数列{an-1}是公比为的等比数列, ∴an-1=an=1+. 例2已知数列{an}中，a1=3，，求{an}的通项。 解：因为{an}的特征函数为：, 由 设 即, ∴数列是公比为的等比数列. ∴ ∵a1=3,∴. 例3已知数列{an}中，a1=2，，求{an}的通项。 解：因为{an}的特征函数为：, 由 设 即, ∴数列是公比为的等比数列. ∴ ∵a1=2,∴ . 例4已知数列{an}的前n项和为，，，求{an}的通项。 解：∵ ……① ∴……② ②-①得： ……③ 因为{an}的特征函数为：, 由x=1. 设，……④ 将④代入③得： ∴，∵ ∴ ∴。