等差数列·例题解析 ? 【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？ 解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d＝7，an＝98． 代入an＝a1＋(n－1)d中，有 98＝7＋(n－1)·7 解得n＝14[来源:21世纪教育网] 答 100以内有14个能被7整除的自然数． 【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，求此数列． 解 设这五个数组成的等差数列为{an} 由已知：a1＝－1，a5＝7 ∴7＝－1＋(5－1)d 解出d＝2 所求数列为：－1，1，3，5，7． 插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项． [21世纪教育网] 【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？ 解 设an=3n，bm＝4m－3，n，m∈N 21世纪教育网 得n＝4k－1(k∈N)，得{an}，{bm}中相同的项构成的数列{cn}的通项cn＝12n－3(n∈N)． 则在[1000，2000]内{cn}的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－321世纪教育网 ∴n＝166－84＋1=83 ∴共有83个数． 【例5】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数． 解 设三个数分别为x－d，x，x＋d． 解得x＝5，d＝±2 ∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、321世纪教育网 说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法． 【例6】 已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列． 证 ∵a、b、c成等差数列 ∴2b=a＋c ∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c ＝a＋(a＋c)＋c ＝2(a＋c) ∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列． 说明 如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．本例的意图即在让读者体会这一点． 可能是等差数列． 分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法． 证 假设a、b、c是等差数列，则2b=a＋c ∴2ac＝b(a＋c)=2b2，b2＝ac． 又∵ a、b、c不为0， ∴ a、b、c为等比数列， 又∴ a、b、c为等差数列， ∴ a、b、c为常数列，与a≠b矛盾， ∴ 假设是错误的． ∴ a、b、c不可能成等差数列． 【例8】 解答下列各题： (1)已知等差数列{an}，an≠0，公差d≠0，求证： ①对任意k∈N，关于x的方程 akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0有一公共根； 分析与解答 (1)akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0 ∵{an}为等差数列，∴2ak+1＝ak＋ak+2 ∴akx2＋(ak＋ak+2)x＋ak+2＝0 ∴(akx＋ak+2)(x＋1)=0，ak≠0 ∵{an}为等差数列，d为不等于零的常数 (2)由条件得 2b=a＋c ∴4RsinB＝2RsinA＋2RsinC，2sinB＝sinA＋sinC 分析至此，变形目标需明确，即要证 由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有 【例9】 若正数a1，a2，a3，…an+1成等差数列，求证： 证明设该数列的公差为d，则 a1－a2=a2－a3＝…＝an－an+1=－d ∴a1－an+1=－nd ∴ 原等式成立． 【例10】 设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x， ... ...
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