数系的扩充与复数的引入复习指导 『教材重点』：１．复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义；２．复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；３．体会数学思想方法－类比法． 『教材难点』：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除法． 『复习过程指导』 在复习本章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1)复数与实数、有理数的联系；（2）复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算的联系；（3）复数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算的联系． 在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑思维能力．其数学思想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下： 多项式运算 类比 复数 运算 类比 向量 运算21世纪教育网 实数 运算 类比 数轴上向量运算 有理数 运算 一．数学思想方法总结 1数学思想方法之一：类比法 （1）复数的运算 复数代数形式的加法、减法运算法则 复数代数形式的乘法运算运算法则： 显然在运算法则上类似于多项式的加减法（合并同类项），以及多项式的乘法，这就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便． （2）复数的几何意义 我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；有序实数对与直角坐标平面内的点一一对应；类似的我们有： 复数集C＝与坐标系中的点集一一对应．于是： 复数集＝复平面内的点 复数集＝平面向量 例1．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点 位于 ( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限 解答：复数＋(1＋i)2＝ ＝ 因为复数对应着直角坐标平面内的点， 故在第二象限，答案为B． 此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的理解． 例2．非零复数分别对应复平面内向量，若= 则向量与的关系必有（ ） A ．= B． C ． D．共线21世纪教育网 解答： 由向量的加法及减法可知： ＝ ＝ 由复数加法以及减法的几何意义可知： 对应的模 对应的模 又因为=，且非零复数分别对应复平面内向量 所以四边形OACB是正方形 因此，故答案选B． 注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义 （3）复数的化简 虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”． 例３若复数（∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 （A）-2 (B)4 (C) -6 (D)6 解答：由＝＝ ＝ 因为复数是纯虚数 所以且 解得 故答案选C． 注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数＝５，一般地（）（）＝ 这也是一个复数与实数转化的过程，即是纯虚数可得：且，21世纪教育网 2．数学思想方法之二 转化法 我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数的运算． 基础知识：复数 例４若 , ，且为纯虚数，则 实数a的值为 ． 解答：＝＝ 因为为纯虚数 所以且．解得 例５．设、、、，若为实数，则， （A）（B） （C）（D） 解答： 由 因为 为实数， 所以其虚部，即 故答案选C． 这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式． 类似于以前所学的实数化简时的把分母“有理化”．再把它转化为实数的运算． 二．解题规律总结 １有关虚数单位的运算及拓展 虚数的乘方及其规律：，＝－ ... ...
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