本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 3.4 基本不等式 教学过程 一．问题情境 1．情境：已知都是正数，给出下面两个命题： ①如果积是定值，那么当时，和有最小值； ②如果和是定值，那么当时，积有最大值． 2．问题：（1）两个命题是否都正确？（2）应用此命题必须具备什么条件？ 二．学生活动 证明：∵， ∴ ， ①当 (定值)时， ∴， ∵上式当时取“”， ∴当时有； ②当 (定值)时， ∴， ∵上式当时取“” ∴当时有． 即（1）两个命题是否都正确；（2）应用此命题求最值时必须具备的条件：一“正”、二“定”、三“相等”． 三．数学运用 1．例题： 例1．用长为的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？ 解：设矩形的长为，则宽为， 矩形面积，且． 由．（当且近当，即时取等号）， 由此可知，当时，有最大值． 答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积． 说明：此题也可转化为求二次函数的最大值． 例2．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为，如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理． 解：设水池底面一边的长度为，则另一边长为，水池的总造价为元，根据题意，得： 当． 因此，当水池的底面是边长为的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是元． 例3．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解：设该厂天购买一次面粉，平均每天所支付的总费用为元． ∴购买面粉的费用为元， 保管等其它费用为， ∴ ， 当，即时，有最小值， 答：该厂天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． 2．练习：1．一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？ 2．在直径为的圆的内接矩形中，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最大面积是多少？ 四．回顾小结： 1．解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题． 五．课外作业：书练习第3，4题；习题第7题； 补充：某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的长方题小房，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元． 基本不等式的应用(2) 教学目标 （1）会运用均值不等式求某些函数的最值，求最大值时注意一正二定三相等． 教学重点，难点 （1）均值不等式的灵活运用． 教学过程 一．问题情境 1．情境： （1）已知直角三角形两条直角边的和等于，求面积最大时斜边的长，最大面积是多少？ （2）已知直角三角形的周长等于，求面积的最大值． 二．学生活动 （1）设直角三角形两条直角边分别为，则， ，，．当时，取“”， 即面积最大时斜边的长为，最大面积为． （2）设直角三角形两条直角边分别为，则， ，， ．当时，取“”， 最大面积为． 三．数学运用 1．例题： 例1．过点的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交与两点，当的面积最小时，求直线的方程． 解：点，， 则直线的方程为， ∵直线过点，∴， 由基本不等式得：， ∴，当且仅当，即时，取“”， 此时的面积取最小值， ∴所求直线的方程为，即． 例2．如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？ 解： ... ...
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