2.4.2 抛物线的几何性质 一、填空题 1．M为抛物线x2＝2py(p>0)上任意一点，F为焦点，则以MF为直径的圆与x轴的位置关系是_____． 2．若抛物线y2＝2px(p>0)与直线ax＋y－4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为_____． 3．若点P在y2＝x上，点Q在(x－3)2＋y2＝4上，则PQ的最小值为_____． 4．已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则当·取得最小值时，点P的坐标是_____． 5．已知抛物线y2＝8x，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，OA＝OB，若焦点F是△OAB的重心，则△OAB的周长为_____． 6．在抛物线y＝4x2上求一点，使该点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是_____． 7．等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是_____． 8．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足的坐标为(2,1)． 能使抛物线的方程为y2＝10x的条件是_____．(填写适合条件的所有序号) 9．在直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点(2p,0)作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，给出下列结论： ①OA⊥OB；②△AOB的最小面积是4p2；③x1x2＝－4p2，其中正确结论的序号是_____． 二、解答题 10．求过定点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程． 11．在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围． 12．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边所在直线的方程是y＝x，斜边长为5，求抛物线的方程． 答案 1解析：如图所示，设C为线段MF的中点，即C为圆的圆心，则CC′＝(MM′＋OF)＝＝MF，∴该圆与x轴相切． 答案：相切 2解析：将(1,2)代入y2＝2px(p>0)和ax＋y－4＝0得p＝2，a＝2，∴y2＝4x,2x＋y－4＝0.∵焦点为(1,0)，∴d＝＝. 答案： 3解析：设P(x，y)，圆心C(3,0)，半径r＝2，∵PC2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋x＝x2－5x＋9＝(x－)2＋≥， 当x＝时，|PC|2＝
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