1．[2015·浙江高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2. (1)求tanC的值； (2)若△ABC的面积为3，求b的值． 解 (1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，所以－cos2B＝sin2C. 又由A＝，即B＋C＝π，得 －cos2B＝sin2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2. (2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝，cosC＝. 又因为sinB＝sin(A＋C)＝sin，所以sinB＝. 由正弦定理得c＝b， 又因为A＝，bcsinA＝3，所以bc＝6，故b＝3. 2．[2015·郑州高三质检一]如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com / )四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC＝90°，BC＝AD＝1，PD＝CD＝2，Q为AD的中点，M为棱PC上一点． (1)试确定点M的位置，使得PA∥平面BMQ，并证明你的结论； (2)若PM＝2MC，求二面角P－BQ－M的余弦值． 解 (1)当M为PC的中点时，PA∥平面BMQ. 理由如下：连接AC交BQ于N，连接MN， 因为∠ADC＝90°，BC＝AD，Q为AD的中点，所以N为AC的中点． 当M为PC的中点，即PM＝MC时，MN为△PAC的中位线，故MN∥PA，又MN 平面BMQ，所以PA∥平面BMQ. (2)由题意，以点D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则P(0,0,2)，Q(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)， 由PM＝2MC可得点M， 所以＝(1,0，－2)，＝(0,2,0)，＝， 设平面PQB的法向量为n1＝(x，y，z)，则 ，故， 令z＝1，得n1＝(2,0,1)， 同理平面MBQ的一个法向量为n2＝， 设所求二面角大小为θ，则cosθ＝＝. 3．[2015·山东高考]若n是一个三位正 ( http: / / www.21cnjy.com / )整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)． 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的 ( http: / / www.21cnjy.com / )“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)． 解 (1)个位数是5的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345. (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此 P(X＝0)＝＝， P(X＝－1)＝＝， P(X＝1)＝1－－＝. 所以X的分布列为 X 0 －1 1 P 则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝. 4．[2015·五校联盟质检]已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N )． (1)求证数列{an}是等差数列； (2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn. 解 (1)证明：Sn＝(n∈N )， ① Sn－1＝(n≥2)． ② ①－②得：an＝(n≥2)，整理得：(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋an－1)(n≥2)． ∵数列{an}的各项均为正数，∴an＋an－1≠0，∴an－an－1＝1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝1，∴数列{an}是首项为1、公差为1的等差数列． (2)由(1)得Sn＝，∴bn＝＝＝2， ∴Tn＝2 ＝2＝. 5．[2015·南昌一模] ( http: / / www.21cnjy.com / )已知圆E：x2＋2＝经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线．直线l交椭圆C于M，N两点，且＝λ (λ≠0)． (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程． 解 (1)∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径， ∴AF2⊥F1F2. 由x2＋2＝， 得x＝±， ∴c＝， |AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1， 2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2. ∵a2＝b2＋c2，∴b＝， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)由题知，点A的坐标为(，1)，∵＝λ (λ≠0)， ∴直线的斜率为， 故设直线l的方程为y＝x＋m， 联立得，x2＋mx＋m2－2＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2) ... ...
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