一、选择题 1．[2015·洛阳统考]曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a＝( ) A．1 B．－1 C．7 D．－7 答案 C 解析 f′(x)＝＝， 又∵f′(1)＝tan＝－1，∴a＝7. 2．[2015·郑州质量预测(二)]如图 ( http: / / www.21cnjy.com / )，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( ) A．－1 B．0 C．2 D．4 答案 B 解析 由图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切 ( http: / / www.21cnjy.com / )线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0. 3．[2015·南宁适应性测试(二)]设抛物线C：y＝x2与直线l：y＝1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于( ) A．1 B. C. D. 答案 D 解析 由得x＝±1.由对称性与图形可知，S＝2(1×1－x2dx)＝2＝，选D. 4．[2015·陕西高考]设f(x)＝x－sinx，则f(x)( ) A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 答案 B 解析 ∵f(－x)＝－x－sin(－x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )－(x－sinx)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又f′(x)＝1－cosx≥0，∴f(x)单调递增，选B. 5．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c(ac<0)，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) 答案 B 解析 设g(x)＝ax3＋ ( http: / / www.21cnjy.com / )bx，因为g(－x)＝－ax3－bx＝－g(x)，所以g(x)是奇函数，其图象关于原点对称，因为f(x)＝g(x)＋c，所以f(x)的图象是g(x)的图象向上或向下平移得到的，所以排除A项；由f′(x)＝3ax2＋b，知当a>0，x→＋∞时，f′(x)>0，函数单调递增，又ac<0，所以c<0，即f(0)＝c<0，所以排除D项；当a<0，x→＋∞时，f′(x)<0，函数单调递减，又ac<0，所以c>0，即f(0)＝c>0，所以排除C项．故选B. 6．[2015·河北名校联盟质监(二)]若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 根据题意，函数y＝ax2与函数y ( http: / / www.21cnjy.com / )＝ex的图象在(0，＋∞)上有公共点，令ax2＝ex得：a＝.设f(x)＝，则f′(x)＝＝， 由f′(x)＝0得：x＝2， 当0
2时，f′(x)>0，函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上是增函数， 所以当x＝2时，函数f(x)＝在(0，＋∞)上有最小值f(2)＝，所以a≥，故选C. 7．[2015·江西八校联考]已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0) B. C．(0,1) D．(0，＋∞) 答案 B 解析 ∵f(x)＝x(ln x－a ( http: / / www.21cnjy.com / )x)，∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，故f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f′(x)＝0，则2a＝，设g(x)＝， 则g′(x)＝，∴g(x)在(0 ( http: / / www.21cnjy.com / ),1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又∵当x→0＋时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1， ∴只需0<2a<1 0
