一、选择题 1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) 答案 B 解析 可根据向量共线不可以作为基底来判断． ∵A、C、D中e1与e2共线，故选B. 2．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( ) A．－ B．0 C．3 D. 答案 C 解析 2a－3b＝(2k－3，－6)，由(2a－3b)⊥c，得4k－6－6＝0，解得k＝3.选C. 3．若向量a、b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( ) A．2 B. C．1 D. 答案 B 解析 由题意得 －2a2＋b2＝0，即－2|a|2＋|b|2＝0，又|a|＝1，∴|b|＝.故选B. 4．设O为△ABC内部的一点，且＋＋2＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为( ) A. B. C．2 D．1 答案 D 解析 ∵＋＋2＝0，∴＋＝－2＝2(D为边AB的中点)，画出图形如图所示，则点A，B到OC的距离相等，OC边公用，则△AOC，△BOC的面积相等，选D. 5．已知向量a＝(cosθ，－2)，b＝(sinθ，1)，且a∥b.则tan等于( ) A．3 B．－3 C. D．－ 答案 B 解析 由a∥b得cosθ＋2sinθ＝0， ∴tanθ＝－，tan＝＝－3.故选B. 6．[2015·长春质监(三)]已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 ∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )a2－a·b＝0，∴a·b＝a2，∵|a|＝1，|b|＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴向量a与向量b的夹角为，故选B. 7．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝3，则向量2a＋3b在向量2a＋b方向上的投影为( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 2a＋3b在向量2a＋b上的投影为|2a＋3b|cosθ＝＝＝. 8．[2015·湖北八校二联]在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，＝2，＝3，则·的值为( ) A．－ B．－ C. D. 答案 A 解析 ＝(＋)，＝－＝－ ∴·＝(＋)·＝ ＝－. 9．对于平面向量a，b，给出下列四个命题： 命题p1：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角； 命题p2：“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充要条件； 命题p3：当a，b为非零向量时，“a＋b＝0”是“|a＋b|＝||a|－|b||成立”的充要条件； 命题p4：若|a＋b|＝|b|，则|2b|≥|a＋2b|. 其中的真命题是( ) A．p1，p3 B．p2，p4 C．p1，p2 D．p3，p4 答案 B 解析 解法一：对于命题p1，当向量a，b共 ( http: / / www.21cnjy.com / )线且同向时，它们的夹角不是锐角，但它们的数量积为正，所以命题p1是假命题．对于命题p2，因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，又|a·b|＝|a||b|，所以|cos〈a，b〉|＝1，所以〈a，b〉＝0°或180°，即a∥b.反之，如果a∥b，容易得到|a·b|＝|a||b|，因此“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充要条件(这里包含a，b中有零向量的情况，因为零向量可以和任何向量平行)，所以命题p2是真命题．对于命题p3，|a＋b|＝||a|－|b|| a·b＝－|a||b| cos〈a，b〉＝－1 a与b反向 a＝λb(λ<0)，所以“a＋b＝0”是“|a＋b|＝||a|－|b||”的充分不必要条件，所以命题p3是假命题．对于命题p4，由|a＋b|＝|b|得，a2＋2a·b＝0，即2a·b＝－a2，故|a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝a2＋4b2－2a2＝4b2－a2≤4b2＝|2b|2，即|2b|≥|a＋2b|，所以命题p4是真命题． 解法二：对于命题p1，当向 ( http: / / www.21cnjy.com / )量a，b共线且同向时，它们的夹角不是锐角，但它们的数量积为正，所以命题p1是假命题，排除A、C.根据B、D可知，命题p4是真命题，故只需要判断命题p2即可．对于命题p2，因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，所以|a·b|＝|a||b| |cos〈a，b〉|＝1 〈a，b〉＝0°或180° a∥b，所以命题p2是真命题，故选B. 10．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，F在线段 ... ...
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