2.3 数学归纳法 同步练习（含答案，2份打包）

2.3 数学归纳法 同步练习 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为(　　) A．1＋a　　　　　　　　　 B．1＋a＋a2 C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4 解析：　将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C. 答案：　C 2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)，从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需要增乘的代数式为(　　) A．2(2k＋1) B．2k＋1 C． D． 解析：　当n＝k时，等式左端为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)， 当n＝k＋1时，等式左端为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋k)(k＋k＋1)(2k＋2)， ∴从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需增乘的式子为2(2k＋1)． 答案：　A 3．若命题A(n)(n∈N )n＝k(k∈N )时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N )时命题成立．则有(　　) A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 解析：　由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定． 答案：　C 4．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N )(　　) A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1 C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2 解析：　三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))． 猜想：若k棱柱有f(k)个对角面， 则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面． 答案：　A 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是_____． 解析：　∵210＝1 024>103，29＝512<93， ∴填10. 答案：　10 6．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N )的过程如下： (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N )时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N ，等式都成立． 上述证明的错误是_____． 解析：　本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符． 答案：　未用归纳假设 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)． 证明：　(1)当n＝1时，左边＝1－＝＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 当n＝k＋1时，1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋…＋＋＋， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)和(2)，知等式对所有n∈N＋都成立． 8．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N )． 证明：　(1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1， ∴≤1＋≤，命题成立． (2)假设当n＝k(k∈N )时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k， 则当n＝k＋1时， 1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋. 又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)， 即n＝k＋1时，命题成立． 由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N 都成立． ? 9.是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立，并证明你的结论． 解析：　将n＝1，2，3分别代入等式得方程组： 解得a1＝6，a2＝9，a3＝12， 设等差数列{an}的公差为d，则d＝3，从而an＝3n＋3. 故存在一个等差数列an＝3n＋3， ... ...