1.6.2 垂直关系的性质 同步练习5（含答案）

1.6.2 垂直关系的性质 同步练习 一、选择题(每小题4分，共16分) 1.下列说法错误的是( ) (A)若α⊥β，则平面α内所有直线都垂直于β (B)若α⊥β，则平面α内一定存在直线平行于β (C)若α⊥γ，γ⊥β，α∩β=l，则l⊥γ (D)若α不垂直于β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β 2.(易错题)如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过点C1作C1H⊥底面ABC， 垂足为H，则点H在( ) (A)直线AC上 (B)直线AB上 (C)直线BC上 (D)△ABC的内部 3.若三棱锥三个侧面两两垂直，过顶点作底面的垂线，则垂足是底面三角形的( ) (A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心 4.直二面角α-AB-β，点C∈α，点D∈β，当满足∠CAB=∠DAB=45°时， 则∠CAD的大小为( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)120° 二、填空题(每小题4分，共8分) 5.已知直线l和平面α，β，且lα，lβ，给出如下三个论证： ①l⊥α，②α⊥β，③l∥β. 从中任取两个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的说法_____(写出一种即可). 6.如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l， A∈l，B∈l，ACα，BDβ，AC⊥l，BD⊥l， 且AB＝4，AC＝3，BD＝12，则CD＝_____. 三、解答题(每小题8分，共16分) 7.如图，平面ABCD⊥ 平面ABEF，ABCD为正方形，ABEF是矩形，且 AF＝AD＝a，G是EF的中点，求证：平面AGC⊥平面BGC. 8.平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=，A1B1=A1C1=.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题. (1)证明：AA1⊥BC； (2)求AA1的长； (3)求二面角A-BC-A1的余弦值. 【挑战能力】 (10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E，F分别是PC，DC的中点，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD. 求证：(1)平面EFO∥平面PDA； (2)PD⊥平面ABCD； (3)平面PAC⊥平面PDB. 答案解析 1.【解题指南】根据直线、平面垂直的性质逐一验证. 【解析】选A.若α⊥β，则平面α内的直线可能与β垂直，也可能平行、斜交. 2.【解析】选B.∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BC1∩BA=B， ∴AC⊥平面BC1A，又AC平面BAC， ∴平面BAC⊥平面BC1A. ∵C1H⊥平面ABC，且点H为垂足， 平面BAC∩平面BC1A=AB，∴H∈AB. 3.【解析】选D.如图，由三棱锥三个侧面两两垂直得SB⊥平面ASC， ∴SB⊥AC，又SO⊥AC， ∴AC⊥平面SBO， ∴BO⊥AC， 同理可证AO⊥BC，CO⊥AB， ∴O为垂心. 4.【解析】选C.过点C在α内作CE⊥AB，垂足为E，过E在β内作EF⊥AB，垂足为E，EF与AD或其延长线相交于点F，连接CF. ∵二面角α-AB-β是直二面角， ∴CE⊥β，∴CE⊥EF. 在Rt△ACE中，∠CAE=45°，∴AC=CE， 同理在Rt△AEF和Rt△CEF中可求得AF=CE， CF=CE，∴△ACF是等边三角形，∴∠CAD=60°. 5.【解析】若l⊥α，α⊥β.又∵lβ，∴l∥β. 若l∥β，过l作平面γ交β于m，则l∥m.又l⊥α， 故m⊥α.又∵mβ，所以α⊥β. 若α⊥β，l∥β，则l与α关系不确定. 答案：若l⊥α，α⊥β，则l∥β(或若l⊥α， l∥β，则α⊥β) 6.【解题指南】利用面面垂直的性质将条件转化为线面、线线垂直，利用直角三角形可求解. 【解析】连接BC，∵AC⊥l，AC=3，AB=4，∴BC=5. ∵BD⊥l，l=α∩β，α⊥β，BDβ，∴BD⊥α. 又BCα，∴BD⊥BC. 在Rt△BDC中， 答案：13 7.【解题指南】利用面面垂直的性质及判定定理证明. 【证明】∵四边形ABCD为正方形，∴CB⊥AB. ∵平面ABCD⊥平面ABEF且交于AB， ∴CB⊥平面ABEF， ∵AG，GB平面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG. 又AD＝2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点. ∴AG＝BG＝a，AB=2a，AB2=AG2+BG2， ∴AG⊥BG. ∵CB∩BG=B，∴AG⊥平面CBG，而AG面 ... ...