寒假专题突破练高二数学（文科通用选修1-1、必修3）专题15 导数及其运算(含答案解析）

专题15　导数及其运算 　　　　　　　　　　 1．导数的几何意义 2．基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0； (2)若f(x)＝xα(α∈Q*)，则f′(x)＝αxα－1； (3)若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx； (4)若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx； (5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝axlna； (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex； (7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝； (8)若f(x)＝lnx，则f′(x)＝. 3．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)[]′＝(g(x)≠0)． 例1　已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值．21世纪教育网版权所有 变式1　若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝_____. 例2　求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝. 变式2　求下列函数的导数： (1)y＝x2sinx＋2cosx；(2)f(x)＝ex. 例3　已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于(　　) A．2B．0C．－2D．－4 变式3　已知函数f(x)满足f(x)＝ex－f(0)x＋x2，求f(x)的解析式． A级 1．若函数f(x)＝x3＋x2＋x＋1，则f′(0)等于(　　) A．0B．1C．2D．3 2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则在A处的切线斜率等于(　　) A．2B．4C．8D．6 3．点P(1,1)是曲线y＝x2－alnx上一点，若曲线在点P处的切线是直线y＝x，则a等于(　　) A．1B.C.D. 4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　) A.B．2e2C．e2D. 5．设曲线y＝x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为(　　) A．(3,9) B．(－3,9) C. D．(1,1) 6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝_____. 7．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是_____． B级 8．函数y＝的导数是(　　) A. B. C. D. 9．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　) A．2 B. C．－ D．－2 10．若函数f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_____． 11．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是_____．21教育网 12．设函数f(x)满足x2f′(x)＋f(x2－x＋1)＝ex，则f′(1)的值为_____． 13．已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx. (1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围． 详解答案 典型例题 例1　解　f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4， 故b＝4，a＋b＝8，解得a＝b＝4. 变式1　 解析　y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝. 例2　解　(1)方法一　y′＝ ＝＝. 方法二　y＝＝＝1＋，y′＝－. (2)y′＝＝. 变式2　解　(1)y′＝(x2sinx)′＋(2cosx)′ ＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＋2(cosx)′ ＝2xsinx＋x2cosx－2sinx. (2)f′(x)＝ ＝xex·. 例3　D　[f′(x)＝2x＋2f′(1)， 令x＝1，得f′(1)＝－2， 于是f′(x)＝2x－4，所以f′(0)＝－4.] 变式3　解　f′(x)＝ex－f(0)＋x， 令x＝1，得f(0)＝1. 所以f(x)＝ex－x＋x2. 令x＝0，得f′(1)＝f(0)e＝e. 故f(x)的解析式为f(x)＝ex－x＋x2. 强化提高 1．B 2．D　[∵y＝2x3，∴y′＝6x2.∴y′|x＝1＝6. ∴点A(1,2)处切线的斜率为6.] 3．A　[y′＝2x－，所以y′|x＝1＝2－a＝1，所以a＝1.] 4．D　5.C　6.3　7.(e，e)　8.B　9.D 10．[2，＋∞) 解析　∵f(x)＝x2－ax＋lnx， ∴f′(x)＝x－a＋. ∵f(x)存在垂直于y轴的切线， ∴f′(x)存在零点， 即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2. 11．－3 解析　y＝ax2＋的导数为 y′＝2ax－， 直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－. 由题意 ... ...