专题5 等比数列 1．等比数列 (1)概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比(常用字母“q”表示)． (2)递推关系：＝q. 2．等比数列的通项公式 an＝a1·qn－1. 3．等比数列的主要性质 (1)an＝am·qn－m(m，n∈N*)； (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq； (3)等比数列{an}中，kn∈N*，且{kn}是等差数列，则{akn}也是等比数列． 4．等比数列的前n项和公式 当q≠1时，Sn＝＝； 当q＝1时，Sn＝na1. 5．等比数列与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式an＝a1·qn－1，它的图象是分布在曲线y＝qx(q>0)上的一些孤立的点． 当a1>0，q>1时，等比数列{an}是递增数列； 当a1<0,00,01时，等比数列{an}是递减数列． 例1 已知等比数列{an}中： (1)a1＝，an＝，q＝，求n； (2)S3＝，S6＝，求an. 变式1 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于( ) A.B．－C. D．－ 例2 (1)若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝_____. (2)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10等于( ) A．4 B．5 C．6 D．7 变式2 (1)正项等比数列{an}中，a1a3＋a3a5＋2a2a4＝36，则a2＋a4等于( ) A．6 B．10 C．20 D．15 (2)等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( ) A．2 B．4 C．8 D．16 例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n，设bn＝an－1.求证：数列{bn}是等比数列． 变式3 已知数列{an}的前n项和Sn＝a(bn－1)(a≠0，b≠0且b≠1)，证明：{an}是等比数列． A级 1．等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( ) A．9 B．10 C．11 D．12 2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( ) A．11 B．5 C．－8 D．－11 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于( ) A．31 B．32 C．63 D．64 4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为( ) A.或5 B.或5 C.D. 5．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝_____. 6．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝_____，S5＝_____. 7．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于_____． B级 8．已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是( ) A．a1＋a3≥2a2 B．a＋a≥2a C．若a1＝a3，则a1＝a2 D．若a3>a1，则a4>a2 9．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为( ) A．－2 B．2 C．－3 D．3 10．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于( ) A．90 B．70 C．40 D．30 11．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝_____. 12．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝_____. 13．已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(＋)，a3＋a4＋a5＝64(＋＋)． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(an＋)2，求数列{bn}的前n项和Tn. 详解答案 典型例题 例1 解 (1)由an＝a1·qn－1得＝·()n－1，即()n－1＝()3，得n＝4. (2)S6≠2S3，故q≠1， ∴ 由②÷①，得1＋q3＝9，解得q＝2， 将q＝2代入①，得a1＝， 故an＝a1·qn－1＝2n－2. 变式1 C [设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9， ... ...
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