专题12 椭 圆 1．椭圆的定义 2．椭圆的标准方程 3．椭圆的简单几何性质 4．直线与椭圆的位置关系 例1 如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程． 变式1 已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为_____． 例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A(2，－6)； (2)经过点(3,0)，离心率e＝. 变式2 (1)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是( ) A. B. C．2 D．4 (2)已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为_____． 例3 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． (1)求E的离心率； (2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程． 变式3 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 A级 1．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 2．椭圆＋＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是( ) A．± B．± C．± D．± 3．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为( ) A．16 B．18 C．20 D．不确定 4．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( ) A．5 B．4 C．3 D．1 5．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_____． 7．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝_____. B级 8．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 9．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( ) A.B. C. D. 10．设AB是椭圆P：＋＝1(a>b>0)的长轴，点C在P上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，则P的两个焦点之间的距离为_____． 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是_____． 12．过椭圆＋＝1 (a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为_____． 13．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M、N两点，且|MN|＝.求直线l的方程． 详解答案 典型例题 例1 解 由题意知点M在线段CQ上， 从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|. 又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|，∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5. ∵A(1,0)，C(－1,0)， ∴点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5， 故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝. 故点M的轨迹方程为＋＝1. 变式1 ＋＝1 解析 根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为4a，故a＝4.又＝，则c＝2. 则b2＝8，所以C的方程为＋＝1. 例2 解 (1)依题意a＝2b. ①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为 ＋＝1. 代入点A(2，－6)坐标，得＋＝1， 解得b2＝37，∴a2＝4b2＝4 ... ...
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