第1章 数列习题课

课件39张PPT。第一章　数 列习课题 数列求和掌握数列求和的几种基本方法.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点　数列求和的方法 1.基本求和公式答案na12.倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的.解析答案解析　设原式＝S，3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.裂项相消求和经常用到下列拆项公式答案5.分组求和法 分组求和一般适用于两种形式： (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；返回6.并项求和法： 一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 题型探究 重点突破题型一　分组求和法 例1　等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式；解析答案解　设等差数列{an}的公差为d.所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值.解析答案反思与感悟解　由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和.跟踪训练1　求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn(其中a≠0).解析答案解　当a＝1时，则an＝n，题型二　错位相减法求和 例2　设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式；解析答案解　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，解得a1＝1，d＝2，因此an＝2n－1，n∈N*.解析答案反思与感悟由(1)知an＝2n－1，n∈N*，解析答案反思与感悟反思与感悟用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.解析答案跟踪训练2　数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*). (1)求数列{an}的通项an；解　∵an＋1＝2Sn，又∵S1＝a1＝1， ∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列. ∴Sn＝3n－1(n∈N*). 当n≥2时，an＝2Sn－1＝2·3n－2，且a1＝1，解析答案(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解　Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan， 当n＝1时，T1＝1； 当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2， ① ∴3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1， ② ①－②得－2Tn＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1＝－1＋(1－2n)·3n－1，又∵T1＝a1＝1也满足上式，题型三　裂项相消求和解析答案反思与感悟如果数列的通项公式可以化为f(n＋1)－f(n)的形式，在数列求和时，就可以采用裂项相消法.解析答案得(an－2n)(an＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以an＝2n.解析答案题型四　并项求和法 例4　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1).解析答案反思与感悟解　当n为奇数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)∴Sn＝(－1)nn (n∈N*).当数列中的项正、负相间时，通常采用并项求和法，但应 ... ...