河北省石家庄市第二中学2017届高三下学期模拟联考 数学（文科） 一、选择题（每小题5分，共60分） 1.已知集合，，则集合中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.若复数满足，则（ ） A． B． C． D．1 3.已知点在角终边的延长线上，且，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 4.若，，则（ ） A. B. C. D. 5.根据如图的程序框图，当输入为2017时，输出的为28，则判断框中的条件可以是（ ） A． B． C. D． 6.在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？（ ） A． B． C. D． 7.函数图象上的某点可以由函数上的某点向左平移个单位长度得到，则的最小值为（ ） A． B． C. D． 8.已知函数，若，都是从任取的一个数，则满足时的概率（ ） A． B． C. D． 9.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边的长为（ ） A．2 B．3 C. 4 D．2或4 10.如图所示，网络纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C. D． 11.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为，则（ ） A．7 B．8 C. 11 D．15 12.已知直线与双曲线交于，两点，且中点的横坐标为，过且与直线垂直的直线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C. D． 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.设向量，与的夹角为且，则的坐标为 . 14.抛物线的准线与圆相切，则= ． 15.已知正四棱锥，底面边长为4，高为2，则该四棱锥外接球的体积为 ． 16.已知函数，无论取何值，函数在区间总是不单调.则的取值范围是 ． 三、解答题 17. 已知数列前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）令，为的前项和，求证：. 18. 已知中，，分别为边上的两个三等分点，为底边上的高，，如图1.将，分别沿，折起，使得，重合于点，中点为，如图2. （1）求证：； （2）若，，求到平面的距离. 19. 某中学高二年级开设五门大学先修课程，其中属于数学学科的有两门，分别是线性代数和微积分，其余三门分别为大学物理，商务英语以及文学写作，年级要求每名学生只能选修其中一科，该校高二年级600名学生各科选课人数统计如下表： 其中选修数学学科的人数所占频率为0.6，为了了解学生成绩与选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析. （1）求和的取值以及抽取的10人中选修商务英语的学生人数； （2）选出的10名学生中恰好包含甲乙两名同学，其中甲同学选修的是线性代数，乙同学选修的是大学物理，现从线性代数和大学物理两个学科中随机抽取3人，求这3人中正好有甲乙两名同学的概率. 20. 已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆有且只有一个公共点，且直线与直线和分别交于，两点，试探究以线段为直径的圆是否恒过定点，若存在求出该点，若不存在，说明理由. 21. 已知函数在处的切线与直线垂直. （1）求函数（为的导函数）的单调递增区间； （2）记函数，设，是函数的两个极值点，若，证明：. 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4： ... ...
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