高三数学（理）（1703） 一、选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A C D C B 二、填空题（每小题5分，共30分） 9． 10． 11． 12． 13．①②④⑤ 14．(0，4) 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（本小题满分13分） （Ⅰ）......4 所以 的最小正周期 .........................6 由 ， 得 ， 所以 的单调递减区间为 ，....................8 （Ⅱ）由 得 故 所以 ， 因此， 的最大为 ，最小值是 ．.................................................13 （16）（本小题满分13分） （Ⅰ）由题意得， 省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡 设事件 为"采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人"， 事件 为"采访该团 人中， 人持金卡， 人持银卡"， 事件 为"采访该团 人中， 人持金卡， 人持银卡"． 由此可知 所以在该团中随机采访 人，恰有 人持金卡且持银卡者少于 人的概率是 ．...........6 （Ⅱ）由题知 的所有可能取值为 ，，，.............................7 所以 的分布列为 所以 ..............11 ......................................................13 （17）（本小题满分13分） （Ⅰ）设中点为G，连结，． 因为//，且，， 所以//且， 所以四边形为平行四边形． 所以//，且． 因为正方形，所以//，， 所以//，且． 所以四边形为平行四边形． 所以//． 因为平面，平面， 所以//平面． ———…………………4 （Ⅱ）如图建立空间坐标系，则，， ，，， 所以，， ． 设平面的一个法向量为， 所以． 令，则，所以． 设与平面所成角为， 则． 所以与平面所成角的正弦值是． ……………………8 （Ⅲ）依题意，可设，则，． 设平面的一个法向量为， 则． 令，则， 所以． 因为平面平面， 所以，即， 所以， 点． 所以． ……………………13 （本小题满分13分） （Ⅰ）由已知 ①， ②， ① ②得 ，即 ． 又因为 ，所以 ． 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ．..............................................6 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 所以 设 ， 则 ， 两式相减得 ， 整理得 ， 所以 ．......................................13 （19）（本小题满分14分） （Ⅰ）函数 的定义域为 ．.........................1 ...........................................................3 令 ，得 ，其判别式 ． 当 ，即 时，， 此时， 在 上单调递增． （2）当 ，即 时， 方程 的两根为 ，． 若 ，则 ，则 时，， 时，． 此时， 在 上单调递减，在 上单调递增． 若 ，则 ，则 时，， 时，， 时，． 此时， 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增． 综上所述，当 时，函数 在（0，）上单调递减，在上单调递增； 当 时，函数在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，在上单调递增； 当 时，函数 上单调递增．........................................................7 （Ⅱ） ①由（Ⅰ）可知，函数 有两个极值点 ，，等价于方程 在 有两不等实根，故 ．..........................................9 ②证明：（Ⅰ）得 ，，且 ，． 令 ，则 ． 由于 ，则 ，故 在 上单调递减． 故 ． 所以 所以 ．...............................................14 （20）（本小题满分14分） （Ⅰ） 由已知，所以， 因为点 在椭圆上，所以 ，解得 ，． 所以所求椭圆方程为 ．..............................................4 （Ⅱ）设 ，，因为 的垂直平分线过点 ，所以 的斜率 存在． 当直线 的斜率 时，所以 ，， 所以 ， 当且仅当 时取" "，所以 时，，..........6 当直线 的斜率 时，设 ． 所以 消去 得 ， 由 得 ① 所以 ，， 所以 ， ， 所以 的中点为 ，........ ... ...
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