21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 【总结】特殊平行四边形—轴对称求最短路径 ◆知识点回顾◆ 例题引入，知识点讲解 ★1.例题引入 （2016年 金乡县期中）如图，直线l是 一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是（ ）21cnjy.com A． B． C． D． 【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M． 根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，则所需管道最短． 故选B． 【点评】本题考查了最短路径的数学问题．这类 问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．【来源：21·世纪·教育·网】 ★2.知识点讲解 问题模型：在直线l的同侧，有两点P，Q，在直线l上找一点M使得PM+PQ的值最小. 问题分析：在直线l上的任意一点与P，Q分别连接得到的线段长之和不同，如下图. 问题解决：作点P关于直线l的对称点P′，连 接QP′交直线l于M．在直线l上，任意取一点M’，连接PM’和QM’，求证： PM+QM≤PM’+QM’.【版权所有：21教育】 证明：因为P与P’关于直线l对称，则PM=P’M，PM’=P’M’， 当M’与M重合时，PM+QM=PM’+QM’； 当M’与M不重合时， 根据两点之间，线段最短，可知P’Q< PM’+QM’， 因为P’Q=P’M+MQ=PM+MQ， 所以PM+QM
