突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍 函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点。在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分。 解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等。 一、函数性质法 【例1】1）、已知函数，，其中，．对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； 2）、已知两函数，，对任意，存在，使得，求实数m的取值范围。 【分析】1）根据题意条件中的x是同一值，故不难想到将问题等价转化为函数恒成立，在通过分离变量，从而可创设出新函数，再求出此函数的最值来解决问题． 2）根据题意在本题所给条件中不等式的两边它们的自变量x不一定是同一数值，故可分别对在两个不同区间内的函数和分别求出它们的最值，再根据只需满足即可求解． 2）、对任意，存在，使得 等价于在上的最小值不大于在上的最小值0， 即， 所以 【点评】在解决函数存在性与恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.此法关键在函数的构造上，常见于两种--一分为二或和而为一，另一点充分利用函数的图象来分析，即体现数形结合思想。 二、分离参数法 【例2】已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为． （1）求实数的值； （2）若对任意成立，求实数的取值范围。 【分析】（1）由结合条件函数的图象在点处的切线的斜率为，可知，可建立关于的方程：，从而解得；（2）要使对任意恒成立，只需即可，而由（1）可知，∴问题即等价于求函数的最大值，可以通过导数研究函数的单调性，从而求得其最值：，令，解得，当时，，∴在上是增函数；当时，，∴在上是减函数，因此在处取得最大值，∴即为所求。 【解析】（1）∵，∴， 又∵的图象在点处的切线的斜率为，∴， 即， ∴； 【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中，当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.常见的有一个口诀：大就大其最大，小就小其最小，即最终转换求函数最值。 利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤: （1） 将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式； （2） 求在上的最大（或最小）值； （3） 解不等式(或) ，得的取值范围。 三、主参换位法 【例3】已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若上恒成立，求的取值范围。 【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：及,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。而根据本题中的条件特征显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一 ... ...
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