突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍：问题6.1 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题 （解析版）

突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍 专题六 不等式 纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查，主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从实际教学来看，这部分知识能力要求高、难度大，是学生掌握最为薄弱，看到就头疼的题目．分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨． 1 不等式恒成立问题 新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分． 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．下面我就以近几年高考试题为例加以剖析．1．1 函数性质法 一、一次函数———单调性法 给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像（线段）（如右下图） 可得上述结论等价于（1）或（2）可合并定成 同理，若在内恒有，则有 例1．若不等式对满足的所有都成立，求的范围． 【分析】我们可以用改变主元的办法，将视为主变元，即将元不等式化为： 来求解． 【解析】【点评】有些问题，如果采取反客为主（即改变主元）的策略，可产生意想不到的效果． 二、二次函数———利用判别式、韦达定理及根的分布求解 有以下几种基本类型： 类型1：设 （1）上恒成立；（2）上恒成立． 类型2：设 （1）当时，上恒成立 上恒成立 （2[）当时，上恒成立 上恒成立 例2．已知不等式对任意实数恒成立．则取值范围是_____. 【分析】由不等式对任意实数恒成立，知或 由此能求出的取值范围． 【解析】∵不等式对任意实数，或解得． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 例3．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 _____. 【分析】与的函数类型，直接受参数的影响，∴首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题． 【解析】综上可得即． 【点评】该题考查一次函数、二次函数的单调性，考查不等式的求解，考查分类讨论思想． 三、其它函数： 恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）． 例4．已知函数在处取得极值，其中，为常数． （1）试确定，的值； （2）讨论函数的单调区间； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【分析】恒成立，即 ，要解决此题关键是求 ，． 【解析】（1）（2）略． 例5.设函数，其中． （Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．（节选） 【分析】，即，，，要解决此题关键是求． 【解析】（Ⅲ）由条件可知，从而恒成立．当时，；当时，．因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．为使对任意，不等式在上恒成立，当且仅当，即，即在上恒成立．即，，∴，因此满足条件的的取值范围是． 例6.设函数，其中常数． （II）若当时，恒成立，求的取值范围．（节选） 【分析】利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围． 【点评】以上三题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，导数的正负对应着函数的增减，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函 ... ...