突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍：问题6.2 线性规划中的参数问题（解析版）

突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍 简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值． 类型一 目标函数中含参数 若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值． 1．目标函数中的系数为参数 【例1】，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为_____. 【答案】或 【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关系．通过本题应进一步明确两点：（1）线性规划问题可能没有最优解；（2）当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解． 【牛刀小试】已知满足约束条件，若的最大值为4，则_____. 【答案】2 【评注】处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率的符号，还要讨论斜率与边界直线斜率的大小关系. 2．目标函数中的系数为参数 【例2】已知变量满足约束条件 若目标函数的最大值为1，则 ． 【答案】3． 【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B（4，1）点是取得最大值，∴，∴． 【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解，进而用代入法求参数的值． 3．目标函数中的系数均含参数 【例3】设，满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则的最大值为 ． 【答案】． 【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形，最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”，缺一不可． 【牛刀小试】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】设满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】作出满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点取得最大值12，即，亦即，所以＝，当且仅当，即时等号成立． 【评注】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知﹙﹚求的最小值，通常转化为＝（)，展开后利用基本不等式求解． 4．目标函数为非线性函数且含有参数 【例4】设不等式组表示的平面区域为．若圆 不经过区域上的点，则的取值范围是_____． 【答案】 【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义，即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：，可看成可行域内的点与定点两点连线的距离的平方，即；也可看成是以为圆心，为半径的圆，转换为圆与可行域有无公共点的问题． 【牛刀小试】【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a ≠ 1)的图象过区域M的a的取值范围是_____. 【答案】[2，9] 【评注】巧妙地识别目标函数的几何意义是研究此类问题的基础，纵观目标函数包括线性与非线性、非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得线性规划问题得以深化，本题的解答中正确理解目标函数表示指数函数的图象与二元一次不等式组表示的平面区域有公共点这一意义是解得本题的关键。 类型二 约束条件中含参数 由于约束条件中存在参数，∴可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而 ... ...