商丘市2017年高三第二次模拟考试 数学（理科）参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分） C D C C C A A B B B D D 二、填空题（每小题5分，共20分） （13） （14） （15） （16） 三、解答题（共70分） （17）解：（Ⅰ）证明：由得： ， ……………………………3分 即， 整理得， ∴成等差数列． …………………………6分 （Ⅱ），∴，…………………………8分 又……………………………10分 . ∴，得． …………………………………………………12分 （18）解：（Ⅰ） 记“抽取的两天送餐单数都大于”为事件， 则． …………………………………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为，则 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以的所有可能取值为190，195，200，207，214．………………6分 故的分布列为： 190 195 200 207 214 …………………………………………8分 ． …………………………………………9分 （ⅱ）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为 ． ……………10分 所以甲公司送餐员日平均工资为元． ……………11分 由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为元． 因为，故推荐小明去甲公司应聘． …………………………12分 （19）解:在中，，是的中点，可得, 在中，，∴， ∴． …………………………………………………1分 又由题意知在三棱柱中, ∴， 所以 …………………………………………2分 以的中点为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间 直角坐标系，……………………………………3分 如图所示由题意知各点坐标如下: . 所以，， ．………………4分 （Ⅰ）由，，∴平面 ∴为平面的一个法向量， ∵， ∴，即与共线，∴平面．…………………6分 （Ⅱ）设平面的法向量为，平面的法向量为 由，即可取， ……………8分 由，即 可取，…………10分 于是，∴， 故二面角的平面角的正弦值为．…………………………………12分 （20）解：（Ⅰ）的焦点为，∴．又，∴． ∴椭圆的方程为． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意，不为零，设直线方程为，, 联立方程组消元得， ∴，， …………………………………6分 ． ∵为定值 ∴， ∴， ∵，∴． …………………………………………………9分 ∴ ，…………………10分 又点到直线的距离， ∴ ． （当且仅当时“=”）∴的最大值为．…………………………12分 （21）解：（Ⅰ）因为．……………………………………………1分 因为函数存在与直线垂直的切线， 所以在上有解， …………………………………2分 即在上有解，也即在上有解， 所以，得， 故所求实数的取值范围是． …………………………………4分 （Ⅱ）因为 因为， …………………………………5分 ①当时，单调递增无极值点，不符合题意，…………………6分 ②当或时，令，设的两根为， 因为为函数的极大值点，所以， 又，，所以，， 所以，则， …………………………8分 要证明，只需要证明， 因为 （）， 令，，………………………………9分 所以， 记，， 则， 当时，，当时，， 所以，所以，………………11分 所以在上单调递减，所以，原题得证．………12分 （22）解：（Ⅰ）由得直线的普通方程为.……………2分 又由得圆C的直角坐标方程为, 即. ………………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为点在直线上，所以的参数方程也可以写成， …………6分 代入圆的直角坐标方程，得， 即，……………………………………………………………………7分 由于， 故可设是上述方程的两实数根，所以，…………………………8分 ∴，又有直线过点，、两点对应的参数分别为， 所以所以.………………10分 （23）解：（Ⅰ）， ……………………………………1分 当时，由，解得 ... ...
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