例说辅助圆的作用 有些问题乍看与圆没有什么联系，解答时添加辅助圆却能使问题方便获解. 一、辅助圆的切线与过切点的半径构成直角 例1 (2014年河南)已知在正方形中，，若点满足，且，求点到的距离. 解 PD=1，，是以点为圆心以1为半径的⊙的切线，点为切点， ，, 中， . 作于，则即为点到的距离. 第一种情况:如图1，当与正方形的边的交点为时. 设，, 则，. , . 即, 解得, 在中， , 第二种情况:如图2，当与正方形的边的交点为时. 设，, 则，, , . 即, 解得, 容易得到 ，即. . 二、已知角看作辅助圆直径所对的圆内角 例2 (2014年广州)已知平面直角坐标系中两定点，，抛物线 过点，，顶点为，点为抛线上一点，当为钝角时，求的取值范围. 解 把，分别代入，得 ，解得 ∴抛物线的解析式为 如图3，设中点为，由、两点坐标得点坐标为 ∵抛物线与轴交于点，连结，， 则在中 ∴点在为直径的⊙上，这时 根据抛物线的对称性可知，抛物线上还存在点关于直线的对称点，也在以为直径的⊙上，这时 ∵点在抛物线上， ∴当为钝角时，的取值范围是，或. 三、辅助圆为待解直角三角形的旁切圆 例3 (2016年徐州)如图4，正方形的边长为，点、分别在边、上，若，则的周长等于 解 如图4，以点为圆心以正方形的边为半径画圆，则边和与圆分别相切于点和. 作圆的切线，交边于，和圆相切于点，连结、, 则， 又 同理可得 即 而 ∵射线和在射线的同侧， ∴和重合 ∴点和重合 ∴与重合 ∴圆是的旁切圆 ∴的周长等于. 四、所求线段作为辅助回的弦或者直径 例4 (2014年南通)矩形中，，，为上一点，，是上一动点，直线与直线交于点，，求线段的长. 解 如图5 在中 取中点，作，垂足为， 则 作的外接圆，且与交于，两点(与距离小于半径). 而 ∴在直角梯形中， 由于和都与垂直，且点，都在线段上，所以，都符合题意. 在中，得 在中，得 故的长度为或 例5 (2014年济南)如图6，抛物线过轴上点，顶点为，对称轴与轴相交于点，直线与轴相交于点，点为线段上的动点，为直角，边与相交于点.设，试探究:为何值时线段的长度最小，最小长度是多少. 解 由抛物线的解析式得，顶点的坐标为，. 是对称轴，是的中点， 是的中点， . 如图6，以为直径作⊙，当⊙与轴相切时的值最小(此时点是切点)， 否则当⊙与相离时就成了锐角不合题意;当⊙与轴相交时，有为直角但不是最小. 由，，得. 连结，则， ， 即 亦即. 即⊙的半径为 ，即时的长度最小，的最小值为. 由上述分析可见，墉助圆具有整合题中信息，提高解题效率的作用，如果不作辅助圆，有些问题利用其他方法可能很难奏效，同学们必须重视这一方法的运用. ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
