正方形问题 1 如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y． （1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当△NPF的面积为32时，求x的值； （3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由． 解析：（1）∵正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCD ∴∠E＝∠F＝90O ，AE∥MC，MC∥NK ∴AE∥NK，∴∠KNA＝∠EAF ∴△KNA∽△EAF，∴ ＝ ，即 ＝ ∴y＝x＋6（0＜x ≤6） （2）由（1）知NK＝AE，∴AN＝AF ∵正方形DMNK，∴AP∥NM，∴ ＝ ＝1 ∴FP＝PM，∴S△MNP ＝S△NPF ＝32 ∴S正方形DMNK ＝2S△MNP ＝64 ∴y＝8，∴x＝2 （3）连接PG，延长FG交AD于点H，则GH⊥AD 易知：AP＝ ，AH＝x，PH＝ －x，HG＝6；PG＝AP＋GF＝ ＋x ①当两圆外切时 在Rt△GHP中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即( －x )2＋6 2＝( ＋x )2 解得：x＝－3－3 （舍去）或x＝－3＋3 ②当两圆内切时 在Rt△GHP中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即( －x )2＋6 2＝( －x )2 方程无解 所以，当x＝3 －3时，两圆相切 2 已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF＝45°，连接EF． （1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （2）设BE＝x，DF＝y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围； （3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动．试判断以E为圆心，以BE为半径的⊙E和以F为圆心，以FD为半径的⊙F之间的位置关系； （4）如图2，当点E在BC的延长线上时，设AE与CD交于点G．问：△EGF与△EFA能否相似？若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由． 解析： （1）猜想：EF＝BE＋DF 证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABF′，易知点F′、B、E在同一直线上（如.图1） ∵AF′＝AF ∠F′AE＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°－45°＝45°＝∠EAF 又AE＝AE，∴△AF′E≌△AFE ∴EF＝F′E＝BE＋BF＝BE＋DF （2）在Rt△EFC中，EC 2＋FC 2＝EF 2 ∵EC＝1－x，FC＝1－y，EF＝x＋y ∴( 1－x )2＋( 1－y )2＝( x＋y )2 ∴y＝ （0＜x ＜1） （3）①当点E在点B、C之间时，由（1）知EF＝BE＋DF，故此时⊙E与⊙F外切； ②当点E在点C时，DF＝0，⊙F不存在. ③当点E在BC延长线上时，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABF′（如图2） 则AF′＝AF，∠1＝∠2，BF′＝DF，∠F′AF＝90° ∴∠F′AE＝∠EAF＝45° 又AE＝AE，∴△AF′E≌△AFE ∴EF＝EF′＝BE－BF′＝BE－DF ∴此时⊙E与⊙F内切 综上所述，当点E在线段BC上时，⊙E与⊙F外切；当点E在BC延长线上时，⊙E与⊙F内切 （4）△EGF与△EFA能够相似，只要当∠EFG＝∠EAF＝45° 即可 此时CE＝CF 设BE＝x，DF＝y，由（3）知EF＝x－y 在Rt△CFE中，CE 2＋CF 2＝EF 2 ∴( x－1 )2＋( 1＋y )2＝( x－y )2 ∴y＝ （x ＞1） 由CE＝CF，得x－1＝1＋y，即x－1＝1＋ 化简得x 2－2x－1＝0，解得x1＝1－ （舍去），x2＝1＋ ∴△EGF与△EFA能够相似，此时BE的长为1＋ 3 已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝6，AB＝3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧． （1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长； （2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM．是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求 ... ...
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